Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2a_n-n²+3n-2（n∈N^*）．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n+2n}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若b_n=

Sn+n2

an+2n

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和B_n；
（Ⅲ）若c_n=

1

an-2

，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：T_n＜

3

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件得a_n=2a_n-2a_n-1-2n+4，從而a_n+2n+2[a_n-1+2（n-1）]，又當(dāng)n=1時(shí)，a₁=0，由此能證明{a_n+2n}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，從而求出an=2n-2n．
（Ⅱ）由bn=2-

n+2

2n

，利用分組求和法和錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和B_n．
（Ⅲ）當(dāng)n=1時(shí)，T1=

1

2

＜

3

4

，當(dāng)n≥2時(shí)，2ⁿ⁺²-2（n+2）＞2[2ⁿ⁺¹-2（n+1）]＞…＞2ⁿ（2²-4）=0，由此能證明Tn＜

3

4

．

解答： （Ⅰ）證明：∵Sn=2an-n2+3n-2，
當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-1=2an-1-(n-1)2+3(n-1)-2，
∴a_n=2a_n-2a_n-1-2n+4，
∴a_n+2n+2[a_n-1+2（n-1）]，
又當(dāng)n=1時(shí)，a₁=0，
∴{a_n+2n}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴an=2n-2n．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得Sn=2n+1-n2-n-2，
bn=2-

n+2

2n

，
∴Bn=2n-(

3

2

+

4

22

+…+

n+2

2n

)，
設(shè)Dn=

3

2

+

4

22

+…+

n+2

2n

，①
則2Dn=3+

4

2

+…+

n+1

2n-2

+

n+2

2n-1

，②
②-①，得Dn=3+

1

2

+…+

1

2n-1

-

n+2

2n

=4-

1

2n-1

-

n+2

2n

=4-

n+4

2n

，
∴Bn=2n-4+

n+4

2n

．
（Ⅲ）證明：當(dāng)n=1時(shí)，T1=

1

2

＜

3

4

，
當(dāng)n≥2時(shí)，∵2ⁿ⁺²-2（n+2）＞2[2ⁿ⁺¹-2（n+1）]，
∴2ⁿ⁺²-2（n+2）＞2[2ⁿ⁺¹-2（n+1）]＞…＞2ⁿ（2²-4）=0，
∴cn=

1

2n+2-2(n+2)

＜

1

2[2n+1-2(n+1)]

=

1

2

cn-1，
又c2=

1

8

，∴當(dāng)n≥2時(shí)，cn≤(

1

2

)n-2c2=(

1

2

)n+1，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，Tn=

1

2

+

1

8

+…+

1

2n+2-2(n+2)

≤

1

2

+

1

8

+…+

1

2n+1

=

1

2

+

1

4

-(

1

2

)n+1＜

3

4

，
∴Tn＜

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．