Question

函數(shù)y=f（x）的定義域為R，若存在常數(shù)M＞0，使得|f（x）|≥M|x|對一切實數(shù)x均成立，則稱f（x）為“圓錐托底型”函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)f（x）=2x，g（x）=x³是否為“圓錐托底型”函數(shù)？并說明理由．
（2）若f（x）=x²+1是“圓錐托底型”函數(shù)，求出M的最大值．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用“圓錐托底型”函數(shù)的定義即可判斷出；
（2）由于f（x）=x²+1是“圓錐托底型”函數(shù)，故存在M＞0，使得|f（x）|=|x²+1|≥M|x|對于任意實數(shù)恒成立．x≠0時，M≤|x+

1

x

|=|x|+

1

|x|

，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．對x=0時直接驗證即可．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=2x．∵|2x|=2|x|≥2|x|，即對于一切實數(shù)x使得|f（x）|≥2|x|成立，
∴函數(shù)f（x）=2x是“圓錐托底型”函數(shù)．
對于g（x）=x³，如果存在M＞0滿足|x³|≥M|x|，而當(dāng)x=

M 2

時，由|

M 2

|3≥M|

M 2

|，
∴

M

2

≥M，得M≤0，矛盾，
∴g（x）=x³不是“圓錐托底型”函數(shù)．

（2）∵f（x）=x²+1是“圓錐托底型”函數(shù)，故存在M＞0，使得|f（x）|=|x²+1|≥M|x|對于任意實數(shù)恒成立．
∴x≠0時，M≤|x+

1

x

|=|x|+

1

|x|

，此時當(dāng)x=±1時，|x|+

1

|x|

取得最小值2，
∴M≤2．而當(dāng)x=0時，也成立．
∴M的最大值等于2．

點評：本題考查了新定義、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．