Question

【題目】已知函數(shù)，其中為實常數(shù).

（1）若當時，在區(qū)間上的最大值為，求的值；

（2）對任意不同兩點，，設(shè)直線的斜率為，若恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）討論與0，1，e的大小關(guān)系確定最值得a的方程即可求解；（2）原不等式化為，不妨設(shè)，整理得，設(shè)，當時，，得，分離，求其最值即可求解a的范圍

（1），令，則.

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

①當，即時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，

由已知，，即，符合題意.

②當時，即時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

則，由已知，，即，不符合題意，舍去.

③當，即時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，

由已知，，即，不符合題意，舍去.

綜上分析，.

（2）由題意，，則原不等式化為，

不妨設(shè)，則，即，

即.

設(shè)，則，

由已知，當時，不等式恒成立，則在上是增函數(shù).

所以當時，，即，即恒成立，

因為，當且僅當，即時取等號，所以.

故的取值范圍是.