Question

已知函數(shù)f（x）=4sinx•sin²（

π

4

+

x

2

）+2cos²x+1+a，x∈R是一個(gè)奇函數(shù)．
（1）求a的值和使f（2x）≥-

3

成立的x的取值集合；
（2）設(shè)|θ|＜

π

2

，若對x取一切實(shí)數(shù)，不等式4+f（x+θ）f（x-θ）＞2f（x）都成立，求θ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),三角不等式,二倍角的余弦

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用二倍角公式對函數(shù)解析式化簡整理，利用函數(shù)的奇偶性求得a．
（2）利用第一問中函數(shù)解析式對不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得．

解答： 解：（1）f（x）=4sinx•sin²（

π

4

+

x

2

）+2cos²x+1+a
=4sinx•

1-cos( π 2 +x)

2

+2cos²x+1+a
=2sinx（1+sinx）+2cos²x+1+a
=2sinx+2sin²x+2cos²x+1+a
=2sinx+3+a，
∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∴a+3=0，即a=-3，f（x）=2sinx，
f（2x）=2sin2x≥-

3

，
即sin2x≥-

3

2

，
∴2kπ+

4π

3

≥2x≥2kπ-

π

3

，k∈Z
kπ-

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z，
即此時(shí)x的集合為[kπ-

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）．
（2）∵4+f（x+θ）f（x-θ）＞2f（x）
即4+4sin（x+θ）sin（x-θ）＞4sinx，當(dāng)|θ|＜

π

2

時(shí)恒成立，
即4-2（cos2x-cos2θ）＞4sinx，
整理得cos2θ＞-2sin²x+2sinx-1，
∵f（x）=-2sin²x+2sinx-1的最大值為f（

1

2

）=-

1

2

+1-1=-

1

2

，
∴要使不等式成立需cos2θ＞-

1

2

，
-

2π

3

＜2θ＜

2π

3

，即-

π

3

＜θ＜

π

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用．考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用．