Question

5．如圖，已知PA⊥面ABC，AD⊥BC于D，BC=CD=AD=1．
（1）令PD=x，∠BPC=θ，試把tanθ表示為x的函數(shù)，并求其最大值；
（2）在直線PA上是否存在一點(diǎn)Q，使得∠BQC＞∠BAC？

Answer 1

分析 （1）由PA⊥平面ABC，AD⊥BC于D，BC=CD=AD=1，利用x表示PA，PB，PC，由余弦定理得到關(guān)于x的解析式，進(jìn)一步利用x表示tanθ，利用基本不等式求最值；
（2）由正切函數(shù)的單調(diào)性可知：點(diǎn)Q的存在性等價(jià)于：是否存在Q使tan∠BQC＞tan∠BAC，令tanθ=$\frac{x}{{x}^{2}+2}＞\frac{1}{3}$，解得x范圍與x＞1交集為空集，得到所求．

解答 解：（1）∵PA⊥平面ABC，AD⊥BC于D，BC=CD=AD=1，設(shè)PD=x，
∴可求得：AC=$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{5}$，PA=$\sqrt{{x}^{2}-1}$，PC=$\sqrt{{x}^{2}+1}$，BP=$\sqrt{{x}^{2}+4}$，
∴在△PBC中，由余弦定理知：cosθ=$\frac{P{B}^{2}+P{C}^{2}-B{C}^{2}}{2BP•PC}$=$\frac{2{x}^{2}+4}{2\sqrt{{x}^{2}+1}\sqrt{{x}^{2}+4}}$
∴tan²θ=$\frac{1}{co{s}^{2}θ}$-1=$\frac{（{x}^{2}+1）（{x}^{2}+4）}{（{x}^{2}+2）^{2}}$-1=$\frac{{x}^{2}}{（{x}^{2}+2）^{2}}$，
∴tanθ=$\frac{x}{{x}^{2}+2}$=$\frac{1}{x+\frac{2}{x}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$（當(dāng)且僅當(dāng)x=$\sqrt{2}$時(shí)取等號(hào)）；
所以tanθ的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
（2）由正切函數(shù)的單調(diào)性可知：點(diǎn)Q的存在性等價(jià)于：是否存在Q使tan∠BQC＞tan∠BAC，
tan∠BAC=tan（∠ACD-∠ABD）=$\frac{1}{3}$，
令tanθ=$\frac{x}{{x}^{2}+2}＞\frac{1}{3}$，解得1＜x＜2，與x＞1交集為空集；所以滿足條件的點(diǎn)Q存在．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考察了直線與平面垂直的性質(zhì)，余弦定理的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題