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【題目】在三棱錐P﹣ABC中.側梭長均為4.底邊AC=4.AB=2,BC=2 ,D.E分別為PC.BC的中點. 〔I)求證:平面PAC⊥平面ABC.
(Ⅱ)求三棱錐P﹣ABC的體積;
(Ⅲ)求二面角C﹣AD﹣E的余弦值.

【答案】證明:(Ⅰ)∵PA=PB=PC=AC=4, 取AC的中點O,連接OP,OB,可得:OP⊥AC,

,∴AC2=AB2+BC2 , ∴△ABC為Rt△.
∴OB=OC=2,PB2=OB2+OP2 , ∴OP⊥OB.
又∵AC∩BO=O且AC、OB面ABC,∴OP⊥平面ABC,
又∵OP平面PAC,∴平面PAC⊥平面ABC.)
(Ⅱ)由(I)可知:OP⊥平面ABC,∴OP為三棱錐P﹣ABC的高,且OP=
直角三角形ABC的面積S=
∴VPABC= =
(Ⅲ)方法一:過點E 作EH⊥AC于H,過點H作HM⊥AD于M,
連接ME,∵平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,EH⊥AC,EH平面ABC,
∴EH⊥平面PAC,∴ME⊥AD(三垂線定理),
∴∠EMH即為所求的二面角的平面角.
∵E,D分別為中點,EH⊥AC,
∴在RT△HEC中: ,

在RT△HMA中,
在RT△HME中,


【解析】(I)利用等腰三角形的性質即可得到OP⊥AC,再利用勾股定理的逆定理即可得到OP⊥OB,利用線面垂直的判定定理即可證明;(II)由(I)可知OP⊥平面ABC,故OP為三棱錐P﹣ABC的高,且OP= ,直角三角形ABC的面積S= ,再利用 即可得出.(III)過點E 作EH⊥AC于H,過點H作HM⊥AD于M,連接ME,由平面PAC⊥平面ABC,EH⊥AC,EH平面ABC,可得EH⊥平面PAC,于是ME⊥AD(三垂線定理),可得∠EMH即為所求的二面角的平面角.利用直角三角形的邊角關系求出即可.
【考點精析】認真審題,首先需要了解平面與平面垂直的判定(一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直).

練習冊系列答案
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