【題目】設函數(shù),已知曲線在點處的切線與直線平行
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)是否存在自然數(shù),使得方程在內(nèi)存在唯一的根?如果存在,求出;如果不存在,請說明理由。
(Ⅲ)設函數(shù)(表示中的較小者),求的最大值。
【答案】(1) .
(2) 時,方程在內(nèi)存在唯一的根.證明見解析.
(3) .
【解析】試題分析:(Ⅰ)求出f(x)的導數(shù),求得切線的斜率,由兩直線平行的條件:斜率相等,解方程可得;(Ⅱ)求出的導數(shù)和單調(diào)區(qū)間,最值,由零點存在定理,即可判斷存在;(Ⅲ)由(Ⅱ)求得的解析式,通過的最大值,即可得到所求.
試題解析:(Ⅰ)由題意知,曲線在點處的切線斜率為,所以,
又所以.
(Ⅱ)時,方程在內(nèi)存在唯一的根.
設
當時, .
又
所以存在,使.
因為所以當時, ,當時, ,
所以當時, 單調(diào)遞增.
所以時,方程在內(nèi)存在唯一的根.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,方程在內(nèi)存在唯一的根,且時, , 時, ,所以.
當時,若
若由可知故
當時,由可得時, 單調(diào)遞增; 時, 單調(diào)遞減;
可知且.
綜上可得函數(shù)的最大值為.
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【題目】在正整數(shù)數(shù)列中,由1開始依次按如下規(guī)則取它的項:第一次取1;第二次取2個連續(xù)偶數(shù)2,4;第三次取3個連續(xù)奇數(shù)5,7,9;第四次取4個連續(xù)偶數(shù)10,12,14,16;第五次取5個連續(xù)奇數(shù)17,19,21,23,25,按此規(guī)律取下去,得到一個子數(shù)列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,19…,則在這個子數(shù)中第2014個數(shù)是( )
A. 3965 B. 3966 C. 3968 D. 3989
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ex﹣x2﹣ax.
(1)若曲線y=f(x)在點x=0處的切線斜率為1,求函數(shù)f(x)在[0,1]上的最值;
(2)令g(x)=f(x)+ (x2﹣a2),若x≥0時,g(x)≥0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)當a=0且x>0時,證明f(x)﹣ex≥xlnx﹣x2﹣x+1.
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【題目】某校的學生文娛團隊由理科組和文科組構成,具體數(shù)據(jù)如表所示:
組別 | 文科 | 理科 | ||
性別 | 男生 | 女生 | 男生 | 女生 |
人數(shù) | 3 | 1 | 3 | 2 |
學校準備從該文娛團隊中選出4人到某社區(qū)參加大型公益活動演出,每選出一名男生,給其所在的組記1分;每選出一名女生,給其所在的組記2分,要求被選出的4人中文科組和理科組的學生都有.
(I)求理科組恰好得4分的概率;
(II)記文科組的得分為X,求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望EX.
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【題目】已知函數(shù)f(x)= . (I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(II)若不等式f(x)> 恒成立,求整數(shù)k的最大值;
(III)求證:(1+1×2)(1+2×3)…(1+n(n×1))>e2n﹣3(n∈N*).
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【題目】如圖,在三棱錐中,已知都是邊長為的等邊三角形,為中點,且平面,為線段上一動點,記.
(1)當時,求異面直線與所成角的余弦值;
(2)當與平面所成角的正弦值為時,求的值.
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【題目】下列說法不正確的是( )
A. 方程有實根函數(shù)有零點
B. 有兩個不同的實根
C. 函數(shù)在上滿足,則在內(nèi)有零點
D. 單調(diào)函數(shù)若有零點,至多有一個
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【題目】在三棱錐P﹣ABC中.側梭長均為4.底邊AC=4.AB=2,BC=2 ,D.E分別為PC.BC的中點. 〔I)求證:平面PAC⊥平面ABC.
(Ⅱ)求三棱錐P﹣ABC的體積;
(Ⅲ)求二面角C﹣AD﹣E的余弦值.
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