Question

13．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax，其中a＞0．
（1）若對(duì)一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合；
（2）在函數(shù)f（x）的圖象上去定點(diǎn)A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））（x₁＜x₂），記直線AB的斜率為k，證明：存在x₀∈（x₁，x₂），使 f′（x₀）=k恒成立．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，對(duì)f（x）求導(dǎo)可得f′（x）=0，令f′（x）=0，解可得x=lna，分x＜lna與x＞lna兩種情況討論可得f（x）取最小值為f（lna）=a-alna，令g（t）=t-tlnt，對(duì)其求導(dǎo)可得g′（t）=-lnt，分析可得當(dāng)t=1時(shí)，g（t）取得最大值1，因此當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)，a-alna≥1成立，即可得答案；
（2）根據(jù)題意，由直線的斜率公式可得，$k=\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}=\frac{{{e^{x_2}}-{e^{x_1}}}}{{{x_2}-{x_1}}}-a$．令$φ（x）=f'（x）-k={e^x}-\frac{{{e^{x_2}}-{e^{x_1}}}}{{{x_2}-{x_1}}}$，可以求出φ（x₁）與φ（x₂）的值，令F（t）=e^t-t-1，求導(dǎo)可得F′（t）=e^t-1，分t＞0與t＜0討論可得F（t）的最小值為F（0）=0，則當(dāng)t≠0時(shí)，F(xiàn)（t）＞F（0）=0，即e^t-t-1＞0，進(jìn)而討論可得φ（x₁）＜0、φ（x₂）＞0，結(jié)合函數(shù)的連續(xù)性分析可得答案．

解答 （1）解：f'（x）=e^x-a，令f'（x）=0得x=lna．
當(dāng)x＜lna時(shí)f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞lna時(shí)f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
故當(dāng)x=lna時(shí)，f（x）取最小值f（lna）=a-alna．
于是對(duì)一切x∈R，f（x）≥1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)a-alna≥1．①
令g（t）=t-tlnt，則g'（t）=-lnt．
當(dāng)0＜t＜1時(shí)，g'（t）＞0，g（t）單調(diào)遞增；當(dāng)t＞1時(shí)，g'（t）＜0，g（t）單調(diào)遞減．
故當(dāng)t=1時(shí)，g（t）大值g（1）=1．
因此，當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)，①式成立．
綜上所述，a的取值集合為{1}．
（2）證明：由題意知，$k=\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}=\frac{{{e^{x_2}}-{e^{x_1}}}}{{{x_2}-{x_1}}}-a$． 
令$φ（x）=f'（x）-k={e^x}-\frac{{{e^{x_2}}-{e^{x_1}}}}{{{x_2}-{x_1}}}$，
則$φ（{x_1}）=-\frac{{{e^{x_1}}}}{{{x_2}-{x_1}}}[{{e^{{x_2}-{x_1}}}-（{x_2}-{x_1}）-1}]$，
$φ（{x_2}）=\frac{{{e^{x_2}}}}{{{x_2}-{x_1}}}[{{e^{{x_1}-{x_2}}}-（{x_1}-{x_2}）-1}]$． 
令F（t）=e^t-t-1，則F'（t）=e^t-1．
當(dāng)t＜0時(shí)，F(xiàn)'（t）＜0，F(xiàn)（t）單調(diào)遞減；當(dāng)t＞0時(shí)，F(xiàn)'（t）＞0，F(xiàn)（t）單調(diào)遞增．
故當(dāng)t=0，F(xiàn)（t）＞F（0）=0，即e^t-t-1＞0．
從而${e^{{x_2}-{x_1}}}-（{x_2}-{x_1}）-1＞0$，${e^{{x_1}-{x_2}}}-（{x_1}-{x_2}）-1＞0$，
又$\frac{{{e^{x_1}}}}{{{x_2}-{x_1}}}＞0$，$\frac{{{e^{x_2}}}}{{{x_2}-{x_1}}}＞0$，所以φ（x₁）＜0，φ（x₂）＞0．
因?yàn)楹瘮?shù)y=φ（x）在區(qū)間[x₁，x₂]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在x₀∈（x₁，x₂）使φ（x₀）=0，即f'（x₀）=k成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，涉及最大值、最小值的求法以及恒成立問題，是綜合題；關(guān)鍵是理解導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與單調(diào)性的關(guān)系，并能正確求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．