Question

已知函數f（x）=2sin（π-x）•sin（

π

2

+x）．
（1）求f（x）的最小正周期及單調遞增區(qū)間；
（2）求f（x）在區(qū)間[-

π

12

，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）運用誘導公式對函數解析式進行化簡整理，進而根據正弦函數的餓性質求得函數f（x）的最小正周期和單調遞增區(qū)間．
（2）根據（1）中單調性區(qū)間，可知f（x）在[-

π

12

，

π

4

]上單調增，在[

π

4

，

π

2

]單調減，進而分別求得在相應區(qū)間上最大值和最小值．

解答：解：（1）f（x）=2sin（π-x）•sin（

π

2

+x）=2sinx•cosx=sin2x，
∴T=π，單調遞增區(qū)間為kπ-

π

2

≤2x≤kπ+

π

2

，即-

π

4

+kπ≤x≤

π

4

+kπ
（2）由（1）知函數單調增區(qū)間為[-

π

4

+kπ，+kπ]，且x∈[-

π

12

，

π

2

]
當x∈[-

π

12

，

π

4

]函數單調增，最大值為1，最小值為-

1

2

當x∈[

π

4

，

π

2

]函數單調減，最大值為1，最小值為0
綜合可知函數f（x）在區(qū)間[-

π

12

，

π

2

]上的最大值為1，最小值為-

1

2

．

點評：本題主要考查了三角函數的周期性，三角函數的單調性，誘導公式的運用等知識．