Question

已知函數(shù)f（x）=（2-b）lnx+2bx+

1

x

（b∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)b＜0時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)-3＜b＜-2時，若存在λ₁，λ₂∈[1，3]，使得|f（λ₁）-f（λ₂）|＞（m+ln3）b-2ln3成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）中對b分情況進行討論，綜合得出，
（Ⅱ）中由f（x）在[1，3]上單調(diào)遞減，得出|f（λ₁）-f（λ₂）|_max=f（1）-f（3）=

2

3

-4b+（b-2）ln3，從而有

2

3

-4b+（b-2）ln3）＞（m+ln3）b-2ln3，解出即可．

解答： 解（Ⅰ）：由題意得：f′x）=

2-b

x

-

1

x2

+2b，
=

b(2x-1)(x+ 1 b )

x2

   （x＞0），
①當(dāng)-2＜b＜0時，-

1

b

＞

1

2

，
令f′（x）＜0，得：0＜x＜

1

2

或x＞-

1

b

，
令f′（x）＞0，得：

1

2

＜x＜-

1

b

，
②當(dāng)b=-2時，f（x）=-

(2x-1)2

x2

≤0，
③當(dāng)b＜-2時，-

1

b

＜

1

2

，
令f′（x）＜0，得：0＜x＜

1

b

或x＞

1

2

，
令f′（x）＞0，得：-

1

b

＜x＜

1

2

．
綜上所述：
當(dāng)-2＜b＜0時，
f（x）在（0，

1

2

）∪（-

1

b

，+∞）上單調(diào)遞減，在（

1

2

，-

1

b

）單調(diào)遞增．
當(dāng)b＜-2時，
f（x）在（0，-

1

b

）∪（

1

2

，+∞）上單調(diào)遞減，在（-

1

b

，

1

2

）單調(diào)遞增．
當(dāng)b=-2時，
f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
（Ⅱ）：由（Ⅰ）可得：當(dāng)-3＜b＜-2時，f（x）在[1，3]上單調(diào)遞減，
f（x）_max=f（1）=2b+1，
f（x）_min=F（3）=（2-b）ln3+

1

3

+6b，
∴|f（λ₁）-f（λ₂）|_max=f（1）-f（3）
=

2

3

-4b+（b-2）ln3，
∵?λ₁，λ₂∈[1，3]，
∴|f（λ₁）-f（λ₂）|＞（m+ln3）b-2ln3成立，
∴

2

3

-4b+（b-2）ln3）＞（m+ln3）b-2ln3，
整理得：mb＜

2

3

-4b．
又b＜0，∴m＞

2

3b

-4，
又∵-3＜b＜-2，得-

1

3

＜

2

3b

＜-

2

9

，
∴-

13

3

＜

2

3b

-4＜-

38

9

，
∴m≥-

38

9

．

點評：本題屬于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題，會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．掌握不等式成立時所取的條件．