【題目】已知平面向量、滿足,,
(1)若,試求與的夾角的余弦值;
(2)若對一切實數,恒成立,求與的夾角。
【答案】(1);(2)與的夾角為。
【解析】
(1)根據平面向量數量積的定義與夾角公式,即可求出、夾角的余弦值;(2)設a與b
的夾角為θ,由|x|≥|得出不等式x2+2xcosθ﹣2cosθ﹣1≥0對一切實數x恒成
立,利用判別式△≤0求出cosθ的值,從而得出θ的值.
(1)因為||,||=1,||=2,
所以||2=4,
即2﹣22=4,
2﹣21=4,
所以.
設與的夾角為θ,
cosθ.
(2)令與的夾角為θ,由|x|≥||,
得(x)2≥()2,
因為||,||=1,
所以x2+2xcosθ﹣2cosθ﹣1≥0,
對一切實數x恒成立,
所以△=8cos2θ+8cosθ+4≤0,
即(cosθ+1)2≤0,故cosθ,
因為θ∈[0,π],所以θπ.
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【題目】中國古代有計算多項式值的秦九韶算法,如圖是實現(xiàn)該算法的程序框圖.執(zhí)行該程序框圖,若輸入的x=2,n=2,依次輸入的a為2,2,5,則輸出的s=( 。
A.7
B.12
C.17
D.34
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【題目】已知f(x)是定義域為R的偶函數,f(-1)=3,且當x≥0時,f(x)=2x+x+c(c是常數),則不等式f(x-1)<6的解集是( 。
A. B. C. D.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系內從點P1(0,0)作x軸的垂線交曲線y=ex于點Q1(0,1),曲線在Q1點處的切線與x軸交于點P2.再從P2作x軸的垂線交曲線于點Q2,依次重復上述過程得到一系列點:P1,Q1;P2,Q2;…;Pn,Qn,記點的坐標為(,0)(k=1,2,…,n).
(1)試求與的關系(k=2,…,n);
(2)求|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn|.
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【題目】已知函數的最大值與最小值之和為a2+a+1(a>1).
(1)求a的值;
(2)判斷函數g(x)=f(x)-3在[1,2]的零點的個數,并說明理由.
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【題目】如圖,在以A,B,C,D,E,F(xiàn)為頂點的五面體中,面ABEF為正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D﹣AF﹣E與二面角C﹣BE﹣F都是60°.
(1)證明平面ABEF⊥平面EFDC;
(2)求二面角E﹣BC﹣A的余弦值.
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【題目】某公司計劃購買2臺機器,該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件,在購進機器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元.在機器使用期間,如果備件不足再購買,則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數,得如圖柱狀圖:
以這100臺機器更換的易損零件數的頻率代替1臺機器更換的易損零件數發(fā)生的概率,記X表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數,n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數.
(1)求X的分布列;
(2)若要求P(X≤n)≥0.5,確定n的最小值;
(3)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據,在n=19與n=20之中選其一,應選用哪個?
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【題目】在直角坐標系中,以原點為極點,x軸的正半軸為極軸建坐標系,已知曲線,已知過點的直線的參數方程為:(t為參數),直線與曲線C分別交于M,N.
(Ⅰ)寫出曲線C和直線的普通方程;
(Ⅱ)若成等比數列,求a的值.
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【題目】已知橢圓E: =1(a>b>0)的一個焦點與短軸的兩個端點是正三角形的三個頂點,點P( , )在橢圓E上.
(1)求橢圓E的方程;
(2)設不過原點O且斜率為 的直線l與橢圓E交于不同的兩點A,B,線段AB的中點為M,直線OM與橢圓E交于C,D,
證明:︳MA︳︳MB︳=︳MC︳︳MD︳
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