Question

已知a，b為常數(shù)且a≠0，函數(shù)f（x）=ax²+bx，若f（2）=0且方程f（x）=x有等根．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式及值域；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m，n（m＜n），使f（x）的定義域和值域分別為[m，n]和[2m，2n]，若存在，求出m，n的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由于方程f（x）=x有等根，所以可求b=1，利用f（2）=0可求a=-

1

2

，故函數(shù)解析式可求，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解值域．
（2）利用函數(shù)的最大值可知f（x）在[m，n]上單調(diào)遞增，從而可建立方程組，故滿足條件的m，n存在．

解答： 解：（1）∵方程ax²+bx-x=0有等根，∴△=（b-1）²=0，得b=1．
∵f（2）=0，∴a=-

1

2

，
∴f（x）的解析式為f（x）=-

1

2

（x-1）²+

1

2

；
∵函數(shù)是二次函數(shù)，-

1

2

（x-1）²+

1

2

≤

1

2

．
∴函數(shù)的值域?yàn)椋海?span id="ggxr4wz" class="MathJye">-∞，

1

2

]．
（2）∵f（x）=-

1

2

（x-1）²+

1

2

≤

1

2

，∴2n≤

1

2

，∴n≤

1

4

，∴f（x）在[m，n]上單調(diào)遞增，
若滿足題設(shè)條件的m，n存在，則

f(m)=2m f(n)=2n

，
∴

m=-2 n=0

即這時(shí)定義域?yàn)閇-2，0]，值域?yàn)閇-4，0]．
由以上知滿足條件的m，n存在，m=-2，n=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，二次函數(shù)解析式的求法與運(yùn)用，涉及分類討論，轉(zhuǎn)化思想．