Question

在等腰梯形ABCD中，設(shè)上底CD=40，腰AD=40，那么當(dāng)AB=

 

時(shí)，等腰梯形的面積最大．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：計(jì)算題,應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：設(shè)AB=x，（x＞40）；等腰梯形的面積為y，從而可得y=

x+40

2

•

402-( x-40 2 )2

=

1

4

(x+40)3(120-x)

；再令f（x）=（x+40）³（120-x）；由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的最大值點(diǎn)即即可．

解答： 解：設(shè)AB=x，（x＞40）；等腰梯形的面積為y，
則y=

x+40

2

•

402-( x-40 2 )2

=

1

4

(x+40)3(120-x)

；
令f（x）=（x+40）³（120-x）；
則f′（x）=3（x+40）²（120-x）-（x+40）³
=4（x+40）²（80-x）；
故當(dāng)x∈（40，80）時(shí)，f′（x）＞0；
當(dāng)x∈（80，120）時(shí)，f′（x）＜0；
故f（x）=（x+40）³（120-x）在x=80時(shí)取得最大值f（80）；
故時(shí)y=

x+40

2

•

402-( x-40 2 )2

也取得最大值；
故答案為：80．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的最值在實(shí)際問題中的應(yīng)用，屬于中檔題．