Question

【題目】已知函數(shù)，曲線在點處的切線為．

（）若直線的斜率為，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

（）若函數(shù)是區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；（2）或

【解析】試題分析：（1）求得的導數(shù)，可得切線的斜率，由條件可得，由導數(shù)大于0，可得增區(qū)間，由導數(shù)小于0，可得減區(qū)間；（2）由題意可得當函數(shù)在遞增（或遞減），即有或）對成立，只要在上的最小值（或最大值）大于等于0即可．求出二次函數(shù)的對稱軸，討論區(qū)間和對稱軸的關(guān)系，求得最小值（或最大值），解不等式即可得到所求范圍.

試題解析：（）由得，

若曲線在點處的切線的斜率為，

則，

∴， ，

令，得或；

令，得，

∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為．

（）①當函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減時， 對成立，

即對成立，

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，只需要，

解得，

又，所以；

②當函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增時， 對成立，

只需在上的最小值大于等于即可，

函數(shù)的對稱軸為，

當時， 在上的最小值為，

∴，解得或，

此種情形不成立；

當時， 在上的最小值為，

∴，解得；

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是或．