【題目】已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,直線y=4與y軸的交點為P,與C的交點為Q,且|QF|= |PQ|. (Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)過F的直線l與C相交于A、B兩點,若AB的垂直平分線l′與C相交于M、N兩點,且A、M、B、N四點在同一圓上,求l的方程.

【答案】解:(Ⅰ)設(shè)點Q的坐標(biāo)為(x0,4),把點Q的坐標(biāo)代入拋物線C:y2=2px(p>0),

可得x0= ,∵點P(0,4),∴|PQ|=

又|QF|=x0+ = + ,|QF|= |PQ|,

+ = × ,求得 p=2,或 p=﹣2(舍去).

故C的方程為 y2=4x.

(Ⅱ)由題意可得,直線l和坐標(biāo)軸不垂直,y2=4x的焦點F(1,0),

設(shè)l的方程為 x=my+1(m≠0),

代入拋物線方程可得y2﹣4my﹣4=0,顯然判別式△=16m2+16>0,y1+y2=4m,y1y2=﹣4.

∴AB的中點坐標(biāo)為D(2m2+1,2m),弦長|AB|= |y1﹣y2|= =4(m2+1).

又直線l′的斜率為﹣m,∴直線l′的方程為 x=﹣ y+2m2+3.

過F的直線l與C相交于A、B兩點,若AB的垂直平分線l′與C相交于M、N兩點,

把線l′的方程代入拋物線方程可得 y2+ y﹣4(2m2+3)=0,∴y3+y4= ,y3y4=﹣4(2m2+3).

故線段MN的中點E的坐標(biāo)為( +2m2+3, ),∴|MN|= |y3﹣y4|= ,

∵M(jìn)N垂直平分線段AB,故AMBN四點共圓等價于|AE|=|BE|= |MN|,

+DE2= MN2

∴4(m21)2 + + = × ,化簡可得 m2﹣1=0,

∴m=±1,∴直線l的方程為 x﹣y﹣1=0,或 x+y﹣1=0


【解析】(Ⅰ)設(shè)點Q的坐標(biāo)為(x0,4),把點Q的坐標(biāo)代入拋物線C的方程,求得x0= ,根據(jù)|QF|= |PQ|求得 p的值,可得C的方程.(Ⅱ)設(shè)l的方程為 x=my+1 (m≠0),代入拋物線方程化簡,利用韋達(dá)定理、中點公式、弦長公式求得弦長|AB|.把直線l′的方程代入拋物線方程化簡,利用韋達(dá)定理、弦長公式求得|MN|.由于MN垂直平分線段AB,故AMBN四點共圓等價于|AE|=|BE|= |MN|,由此求得m的值,可得直線l的方程.

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月份

1

2

3

4

5

6

價格(元/擔(dān))

68

78

67

71

72

70


A.
B.
C.11
D.

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A.
B.
C.
D.

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