Question

6．已知函數(shù)f（x）=2lnx-x²．
（1）求函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（3）若函數(shù)f（x）與g（x）=x+$\frac{a}{x}$（a∈R）有相同極值點(diǎn)，且對(duì)于任意的${x_1}，{x_2}∈[\frac{1}{e}，e]$，不等式f（x₁）-g（x₂）≤m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得切線方程；
（2）求得導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間，注意定義域，即可得到極大值；
（3）分別求得f（x）、g（x）在$[\frac{1}{e}，e]$上的最大值和最小值，由題意可得m≥f（x）_max-g（x）_min，即可得到m的范圍．

解答 解：（1）∵$f'（x）=-2x+\frac{2}{x}=-\frac{2（x+1）（x-1）}{x}$，
∴f′（1）=0，所求的切線斜率為0，
又切點(diǎn)為（1，-1），
故所求切線方程為y=-1；
（2）∵$f'（x）=-\frac{2（x+1）（x-1）}{x}$且x＞0，
令f′（x）＞0得0＜x＜1，令f′（x）＜0得x＞1．
從而函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）
顯然函數(shù)只有極大值，且極大值為f（1）=-1；
（3）由（2）知，x=1是函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)，
且函數(shù)f（x）在$[\frac{1}{e}，e]$上的最大值為f（1）=-1，
若y=g（x）與y=f（x）有相同的極值點(diǎn)，
∴x=1也是y=g（x）的極值點(diǎn)，又$g'（x）=1-\frac{a}{x^2}$，
∴g′（1）=1-a=0，得a=1，即$g（x）=x+\frac{1}{x}$，
當(dāng)$x∈[\frac{1}{e}，e]$時(shí)，$g（x）=x+\frac{1}{x}≥2$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，∴函數(shù)y=g（x）在$[\frac{1}{e}，e]$上的最小值為2，
要對(duì)于任意x₁，x₂$∈[\frac{1}{e}，e]$，不等式f（x₁）-g（x₂）≤m恒成立，
只要m≥f（x）_max-g（x）_min，由$x∈[\frac{1}{e}，e]$，即得m≥-1-2=-3，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-3，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，同時(shí)考查不等式恒成立問題注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，屬于中檔題．