Question

【題目】如圖所示，已知A、B、C是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓E上的三點(diǎn)，點(diǎn)A是長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)，BC過橢圓中心O，且，|BC|＝2|AC|．

（1）求橢圓E的方程；

（2）在橢圓E上是否存點(diǎn)Q，使得？若存在，有幾個(gè)（不必求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)），若不存在，請(qǐng)說明理由．

（3）過橢圓E上異于其頂點(diǎn)的任一點(diǎn)P，作的兩條切線，切點(diǎn)分別為M、N，若直線MN在x軸、y軸上的截距分別為m、n，證明：為定值．

Answer 1

【答案】（1）（2）滿足條件的點(diǎn)Q存在，且有兩個(gè)（3）見解析，

【解析】試題分析：（1）依題意有，再根據(jù)幾何條件得三角形AOC為等腰直角三角形，即得點(diǎn)C的坐標(biāo)，代入橢圓方程可得，（2）先用坐標(biāo)化簡(jiǎn)，得點(diǎn)Q在直線上，再根據(jù)直線與橢圓位置關(guān)系確定交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即得滿足條件的點(diǎn)Q個(gè)數(shù)，（3）設(shè)點(diǎn)，先利用兩圓公共弦求切點(diǎn)弦MN方程，解得截距，根據(jù)點(diǎn)P在橢圓上化簡(jiǎn)，得定值.

試題解析：(1)依題意知：橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，則A(2，0)，

設(shè)橢圓E的方程為

由橢圓的對(duì)稱性知|OC|＝|OB| 又∵，|BC|＝2|AC|

∴AC⊥BC，|OC|＝|AC| ∴△AOC為等腰直角三角形，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，1)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－1，－1) ，

將C的坐標(biāo)(1，1)代入橢圓方程得

∴所求的橢圓E的方程為

（2）設(shè)在橢圓E上存在點(diǎn)Q，使得，設(shè)，則

即點(diǎn)Q在直線上，

∴點(diǎn)Q即直線與橢圓E的交點(diǎn)，

∵直線過點(diǎn)，而點(diǎn)橢圓在橢圓E的內(nèi)部，

∴滿足條件的點(diǎn)Q存在，且有兩個(gè)．

（3）設(shè)點(diǎn)，由M、N是的切點(diǎn)知，,

∴O、M、P、N四點(diǎn)在同一圓上，

且圓的直徑為OP,則圓心為，

其方程為，

即-----④

即點(diǎn)M、N滿足方程④，又點(diǎn)M、N都在上，

∴M、N坐標(biāo)也滿足方程---------------⑤

⑤-④得直線MN的方程為，

令得，令得，

∴，又點(diǎn)P在橢圓E上，

∴，即=定值.