Question

【題目】[2018·石家莊一檢]已知函數(shù)．

（1）若，求函數(shù)的圖像在點處的切線方程；

（2）若函數(shù)有兩個極值點，，且，求證：．

Answer 1

【答案】（1） （2）見解析

【解析】試題分析：（1）分別求得和，由點斜式可得切線方程；

（2）由已知條件可得有兩個相異實根，，進而再求導可得，結合函數(shù)的單調(diào)性可得，從而得證.

試題解析：

（1）由已知條件，，當時，，

，當時，，所以所求切線方程為

（2）由已知條件可得有兩個相異實根，，

令，則，

1）若，則，單調(diào)遞增，不可能有兩根；

2）若，

令得，可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

令解得，

由有，

由有，

從而時函數(shù)有兩個極值點，

當變化時，，的變化情況如下表

	單調(diào)遞減		單調(diào)遞增		單調(diào)遞減

因為，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

．

另解：由已知可得，則，令，

則，可知函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

若有兩個根，則可得，

當時， ，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以．