Question

（1）求證：C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=n•2ⁿ-¹ （n∈N*）
（2）設n是滿足C_n⁰+2C_n¹+3C_n²+…+（n+1）•C_nⁿ＜1000的最大正整數(shù)，求97ⁿ除以99的余數(shù)．
（3）當n∈N*且n＞1時，求證2＜（1+）ⁿ＜3．

Answer 1

證明：（1）記S=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ，
倒序則S=nC_nⁿ+（n-1）C_n^n-1+…+C_n¹ （2分）
∴2S=nc_n⁰+nC_n¹+…+nC_nⁿ=n•2ⁿ
∴S=n•2^n-1 …（2分）
解：（2）C_n⁰+2C_n¹+3C_n²+…+（n+1）C_nⁿ
=（C_n⁰+C_n¹+…C_nⁿ）+（C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ） （1分）
=2ⁿ+n•2^n-1＜1000
由于7•2⁶+2⁷=576＜1000＜1280=8•2⁷+2⁸，
∴n=7 …（2分）
97⁷=（99-2）⁷=C₇⁰•99⁷-C₇¹•99⁶•2+…+C₇⁶•99•2⁶-C₇⁷•2⁷
∴97ⁿ除以99的余數(shù)即為-C₇⁷•2⁷除以99的余數(shù)70 （2分）
證明：（3）∵（1+）ⁿ=c_n⁰+C_n¹•+C_n²•+…+C_nⁿ•（）ⁿ＞c_n⁰+C_n¹•=2 （1分）
∵c_n⁰+C_n¹•+C_n²•+…+C_nⁿ•（）ⁿ
=2+•+…+•
＜2++…+（2分）
＜2++…+
=2+（1-）+…+（-）
=3-＜3 （2分）
分析：（1）直接采用倒序相加法再結合組合數(shù)的性質(zhì)即可證明結論；
（2）先對C_n⁰+2C_n¹+3C_n²+…+（n+1）•C_nⁿ進行整理，結合第一問的結論求出滿足C_n⁰+2C_n¹+3C_n²+…+（n+1）•C_nⁿ＜1000的最大正整數(shù)n；再根據(jù)97⁷=（99-2）⁷=C₇⁰•99⁷-C₇¹•99⁶•2+…+C₇⁶•99•2⁶-C₇⁷•2⁷，把問題轉(zhuǎn)化為-C₇⁷•2⁷除以99的余數(shù)即可；
（3）直接根據(jù)（1+）ⁿ=c_n⁰+C_n¹•+C_n²•+…+C_nⁿ•（）ⁿ只用前兩項即可證明不等式的前半部分；再通過組合數(shù)的性質(zhì)對等式右邊進行放縮即可證明右邊．
點評：本題主要考查二項式定理的應用，屬于中等難度題型，在處理有關二項式定理有關系數(shù)問題時要熟記結論以及性質(zhì)．