Question

定義在R上奇函數(shù)g（x）與偶函數(shù)h（x），對(duì)任意x∈R滿足g（x）+h（x）=sin²x+sinx+acosx．a(chǎn)為實(shí)數(shù)
（1）求奇函數(shù)g（x）和偶函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）若a＞2，求函數(shù)h（x）在區(qū)間[

π

3

，π]上的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）在所給的等式中，用-x代替x，再得到一個(gè)等式，由這兩個(gè)等式解方程組求得g（x）和f（x）的表達(dá)式．
（2）根據(jù)h（x）=-（cosx-

a

2

）²+

a2

4

+1，對(duì)稱軸

a

2

＞1，cosx∈[-1，

1

2

]，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)h（x）的最值．

解答： 解：（1）∵g（x）+h（x）=sin²x+sinx+acosx①，
∴g（-x）+h（-x）=sin²（-x）+sin（-x）+acos（-x）-g（x）+h（x）=sin²x-sinx+acosx②．
聯(lián)立①②得h（x）=sin²x+acosx，g（x）=sinx．
（2）h（x）=1-cos²x+acosx=-（cosx-

a

2

）²+

a2

4

+1，
若a＞2，則對(duì)稱軸

a

2

＞1，且x∈[

π

3

，π]時(shí)，cosx∈[-1，

1

2

]，
當(dāng)cosx=-1，h（x）_min=-a，當(dāng)cosx=

1

2

，h（x）_max=

a

2

+

3

4

=

2a+3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，余弦函數(shù)的值域，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．