Question

19．某汽車廠有一條價值為a萬元的汽車生產(chǎn)線，現(xiàn)要通過技術(shù)改造來提高該生產(chǎn)線的生產(chǎn)能力，提高產(chǎn)品的增加值．經(jīng)過市場調(diào)查，產(chǎn)品的增加值y萬元與技術(shù)改造投入的x萬元之間滿足：①y與（a-x）和x²的乘積成正比；②x∈（0，$\frac{4a}{5}$]．若x=$\frac{a}{2}$時，y=a³．
（Ⅰ）求產(chǎn)品增加值y關(guān)于x的表達式；
（Ⅱ）求產(chǎn)品增加值y的最大值及相應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)條件設(shè)y=f（x）=k（a-x）x²，利用待定系數(shù)法即可求產(chǎn)品增加值y關(guān)于x的表達式；
（Ⅱ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)即可求產(chǎn)品增加值y的最大值及相應(yīng)的x的值．

解答 解：（I）設(shè)y=f（x）=k（a-x）x²，
因為當x=$\frac{a}{2}$時，y=a³，所以k=8，
所以f（x）=8（a-x）x²，x∈（0，$\frac{4a}{5}$]．
（II）因為f′（x）=-24x²+16ax，令f′（x）=0，則x=0（舍），x=$\frac{2a}{3}$．
當x∈（0，$\frac{2a}{3}$）時，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，$\frac{2a}{3}$）上是增函數(shù)，
當x∈（$\frac{2a}{3}$，$\frac{4a}{5}$）時，f′（x）＜0，所以f（x）在（$\frac{2a}{3}$，$\frac{4a}{5}$）上是減函數(shù)，
所以，當x=$\frac{2a}{3}$時，y_max=f（$\frac{2a}{3}$）=$\frac{32}{27}$a³；
答：（I）f（x）=8（a-x）x²，x∈（0，$\frac{4a}{5}$]；（II）投入$\frac{2a}{3}$萬元，最大增加值$\frac{32}{27}$a³．
解法二：因為$x∈（{0，\frac{4}{5}a}]$，所以a-x＞0，
所以$f（x）=8（{a-x}）{x^2}=4（{2a-2x}）•x•x≤4×{（{\frac{2a-2x+x+x}{3}}）^3}=\frac{32}{27}{a^3}$
等號當且僅當2a-2x=x=x即x=$\frac{2a}{3}$時等號成立，
因為$\frac{2a}{3}$∈（0，$\frac{4a}{5}$]，所以當x=$\frac{2a}{3}$時，y_max=f（$\frac{2a}{3}$）=$\frac{32}{27}$a³
答：（I）f（x）=8（a-x）x²，x∈（0，$\frac{4a}{5}$]；（II）投入$\frac{2a}{3}$萬元，最大增加值$\frac{32}{27}$a³．

點評 本題主要考查生活中的優(yōu)化問題，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．