在直角坐標系中,動點M到點的距離等于點M到直線的距離的倍,記動點M的軌跡為W,過點A(a,0)(a>0)作一條斜率為k(k<0)的直線交曲線W于B,C兩點,且交y軸于點D.
(1)求動點M的軌跡,并指出它的三條性質(zhì)或特征;
(2)求證:|AB|=|CD|;
(3)若|BC|=|BD|,求△OAD的面積.(O為坐標原點)
【答案】分析:(1)直接根據(jù)動點M到點的距離等于點M到直線的距離的倍,整理可得動點M的軌跡方程為為xy=1雙曲線,再根據(jù)雙曲線的性質(zhì)寫出其性質(zhì)即可;
(2)直線方程為y=k(x-a),聯(lián)立直線方程與雙曲線方程整理求出BC中點以及AD的中點,只要中點坐標相同即可說明結(jié)論.
(3)先根據(jù)|BC|=|BD|,得到x2=2x1,結(jié)合上面的結(jié)論得到k和a之間的關(guān)系,再代入三角形的面積公式整理即可得到結(jié)論.
解答:解:(1)設M(x,y),
依題意有:.化簡得xy=1.
即動點M的軌跡方程為xy=1雙曲線,其性質(zhì)為                            (4分)
(1)焦點()(2)實軸長2(3)虛軸長2
(4)對稱性y=±x,(0,0)(5)漸近線x=0,y=0等                 (8分)
(2)直線方程為y=k(x-a),由
kx2-kax-1=0.
設B(x1,y1),C(x2,y2),BC中點為N(x,y),

又D(0,-ka)

由|AN|=|DN|,|BN|=|CN|,
可得|AB|=|CD|(14分)
(3)若|BC|=|BD|,可知x1<x2
則x1=x2-x1,即x2=2x1
,

又|OA|=a,|OD|=-ka,
∴S△OCD=.(18分)
點評:本題主要考查軌跡方程的求法以及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.解決本題的關(guān)鍵在于根據(jù)動點M到點的距離等于點M到直線的距離的倍,整理得到動點M的軌跡方程.
練習冊系列答案
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2
,
2
)
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2
=0
的距離的
2
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