Question

18．如圖，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD是邊長為2的菱形，PA=PD，且∠APD=90°，∠DAB=60°．
（I）若線段PC上存在一點M，使得直線PA∥平面MBD，試確定M點的位置，并給出證明；
（II）在第（I）問的條件下，求三棱錐C-DMB的體積．

Answer 1

分析 （I）取線段PC的中點M，連接MD，MB，連接AC、BD相交于點O，連接OM，由三角形中位線定理可得OM∥PA，再由線面平行的判定可得PA∥平面MBD；
（II）由PA=PD，取AD中點N，可得PN⊥AD，由面面垂直的性質(zhì)可得PN⊥平面ABCD，求出M到平面ABCD的距離h=$\frac{1}{2}PN=\frac{1}{2}$，然后利用等積法求得三棱錐C-DMB的體積．

解答 （I）當M為線段PC的中點時，直線PA∥平面MBD．
證明：取線段PC的中點M，連接MD，MB，連接AC、BD相交于點O，連接OM，
∵ABCD是菱形，∴O為AC的中點，又M為PC的中點，
∴OM∥PA，
∵OM?平面MBD，PA?平面MBD，
∴PA∥平面MBD；
（II）∵PA=PD，取AD中點N，∴PN⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，
∴PN⊥平面ABCD，
∵∠APD=90°，AD=2，PN=$\frac{1}{2}AD=1$，
又M為PC的中點，∴M到平面ABCD的距離h=$\frac{1}{2}PN=\frac{1}{2}$．
∵ABCD是邊長為2的菱形，∠DAB=60°，∴${S}_{△BCD}=\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$．
∴${V}_{C-DMB}={V}_{M-BCD}=\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•h=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．