Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°．
（Ⅰ）求證：平面PBC⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA=1，AB=2，當三棱錐P-ABC的體積最大時，在線段AC上是否存在一點D，使得直線BD與平面PBC所成角為30°？若存在，求出CD的長；若不存在，說明理由．（參考公式：棱錐的體積公式V=

1

3

Sh，其中S表示底面積，h表示棱錐的高）

Answer 1

分析：（I）由∠PAB=∠PAC=90°，可得PA⊥AB，PA⊥AC．進而由線面垂直的判定定理得到PA⊥平面ABC，進而BC⊥PA，再由∠ACB=90°及線面垂直的判定定理得到BC⊥平面PAC，再由面面垂直的判定定理可得平面PBC⊥平面PAC；
（Ⅱ）由已知及（Ⅰ）所證可知，PA⊥平面ABC，BC⊥CA，即PA是三棱錐P-ABC的高．求出滿足條件三棱錐P-ABC的體積最大時∠ABC的大小，以C為原點，建立如圖的空間直角坐標系C-xyz，設線段AC上的點D的坐標為D（t，0，0），進而求出滿足條件的t值，進而可得結論．

解答：證明：（Ⅰ）∵∠PAB=∠PAC=90°，
∴PA⊥AB，PA⊥AC．
∵AB∩AC=A，AB，AC?平面ABC
∴PA⊥平面ABC------------------------（1分）
∵BC?平面ABC，
∴BC⊥PA．------------------------（2分）
∵∠ACB=90°，
∴BC⊥CA．
∵PA∩CA=A，PA，CA?平面PAC
∴BC⊥平面PAC．------------（3分）
∵BC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PAC．------------（4分）
（Ⅱ）由已知及（Ⅰ）所證可知，PA⊥平面ABC，BC⊥CA，
∴PA是三棱錐P-ABC的高．
∵PA=1，AB=2，∠ACB=90°，
設∠ABC=θ(0＜θ＜

π

2

)，
則BC=ABcosθ=2cosθ，AC=ABsinθ=2sinθ．
S△ABC=

1

2

×2cosθ×2sinθ=sin2θ，
∴VP-ABC=

1

3

S△ABC×PA=

1

3

sin2θ------（6分）
∴當θ=

π

4

，V_P-ABC有最大值

1

3

，
此時BC=2cos

π

4

=

2

．------------（7分）
以C為原點，建立如圖的空間直角坐標系C-xyz，
則

CB

=(0，

2

，0)，

CP

=(

2

，0，1)，
設

n

=(x，y，z)是平面PBC的法向量，

則

CB • n =0 CP • n =0

⇒

2 •y=0 2 x+z=0

，
取x=1，得

n

=(1，0，-

2

)，------------（9分）
設線段AC上的點D的坐標為D（t，0，0），
則

BD

=(t，-

2

，0)(0≤t≤

2

)，
∵sin30°=

| n • BD|

| n |•| BD|

=

t

3 • t2+2

，
解得t=

6

∉[0，

2

]，------------（11分）
∴在線段AC上不存在點D，使得直線BD與平面PBC所成角為30°．------------（12分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，棱錐的體積，平面與平面垂直的判定，難度中檔．