Question

（2012•即墨市模擬）設(shè)函數(shù)f（x）=x³-ax，x∈R．過圖象上一點斜率最小的切線平行于直線x+y=2．
（1）求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（3）已知當(dāng)x∈（1，+∞）時，f（x）-kf（x-1）≥0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=x³-ax，x∈R，得f′（x）=3x²-a≥-a，由過圖象上一點斜率最小的切線的斜率k=-a和過圖象上一點斜率最小的切線平行于直線x+y=2，能求出a．
（2）由（1）知f（x）=x³-x，f′（x）=3x²-1，令f′（x）=3x²-1=0，得x=±

3

3

．列表討論能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．
（3）由f（x）-kf（x-1）≥0，f（x）=x³-x，得k≤

f(x)

f(x-1)

=

x3-x

(x-1)3-(x-1)

=1+

3

x-2

，由此能求出k有范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=x³-ax，x∈R，
∴f′（x）=3x²-a≥-a，
∴過圖象上一點斜率最小的切線的斜率k=-a，
∵過圖象上一點斜率最小的切線平行于直線x+y=2，
∴-a=-1，故a=1．
（2）∵a=1，∴f（x）=x³-x，f′（x）=3x²-1，
令f′（x）=3x²-1=0，得x=±

3

3

．
列表討論：

x	（-∞，- 3 3 ）	- 3 3	（- 3 3 ， 3 3 ）	3 3	（ 3 3 ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

由表討論知：函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是 （-∞，-

3

3

）、（

3

3

，+∞）；單調(diào)減區(qū)間是（-

3

3

，

3

3

）．
極大值f（-

3

3

）=-

3

9

+

3

3

=

2 3

9

，
極小值f（

3

3

）=

3

9

-

3

3

=-

2 3

9

．
（3）f（x）-kf（x-1）≥0，f（x）=x³-x，
當(dāng)x=2時，f（x）-kf（x-1）≥0恒成立，
當(dāng)x≠2時，k≤

f(x)

f(x-1)

=

x3-x

(x-1)3-(x-1)

=

x(x-1)(x+1)

x(x-1)(x-2)

=

x+1

x-2

=1+

3

x-2

，
而1+

3

x-2

∈（-2，1）∪（1，+∞），
∴k≤-2．

點評：本題考查實數(shù)值的求法，考查單調(diào)區(qū)間和極值的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意列表討論法和分離變量法的靈活運用．