Question

【題目】已知函數(shù)g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在區(qū)間[2，3]上有最大值4和最小值1．設f（x）= ．
（1）求a、b的值；
（2）若不等式f（2x）﹣k2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）若f（|2x﹣1|）+k ﹣3k=0有三個不同的實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)g（x）=ax2﹣2ax+b+1=a（x﹣1）2+1+b﹣a，

因為a＞0，所以g（x）在區(qū)間[2，3]上是增函數(shù)，

故 ，

即 ，

解得

（2）解：由已知可得f（x）=x+ ﹣2，

所以，不等式f（2x）﹣k2x≥0可化為 2x+ ﹣2≥k2x，

可化為 1+（ ）2﹣2 ≥k，令t= ，則 k≤t2﹣2t+1．

因 x∈[﹣1，1]，故 t∈[ ，2]．故k≤t2﹣2t+1在t∈[ ，2]上恒成立．

記h（t）=t2﹣2t+1，因為 t∈[ ，2]，故 h（t）min=h（1）=0，

所以k的取值范圍是（﹣∞，0]

（3）解：方程f（|2x﹣1|）+k ﹣3k=0可化為：

|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，|2x﹣1|≠0，

令|2x﹣1|=t，則方程化為

t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），

∵方程f（|2k﹣1|）+k ﹣3k=0有三個不同的實數(shù)解，

∴由t=|2x﹣1|的圖象知，

t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），有兩個根t1、t2，

且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1．

記h（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），

則 ，或

∴k＞0．

【解析】（1）由函數(shù)g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a，a＞0，所以g（x）在區(qū)間[2，3]上是增函數(shù)，故 ，由此解得a、b的值．（2）不等式可化為 2x+ ﹣2≥k2x ， 故有 k≤t2﹣2t+1，t∈[ ，2]，求出h（t）=t2﹣2t+1的最小值，從而求得k的取值范圍．（3）方程f（|2x﹣1|）+k ﹣3k=0|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，（|2x﹣1|≠0），令|2x﹣1|=t，則t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），構(gòu)造函數(shù)h（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），通過數(shù)形結(jié)合與等價轉(zhuǎn)化的思想即可求得k的范圍．
【考點精析】關于本題考查的函數(shù)的零點與方程根的關系，需要了解二次函數(shù)的零點：（1）△＞0，方程 有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與 軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點;（2）△＝0，方程 有兩相等實根（二重根），二次函數(shù)的圖象與 軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點;（3）△＜0，方程 無實根，二次函數(shù)的圖象與 軸無交點，二次函數(shù)無零點才能得出正確答案．