Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點(diǎn)P(

3

，1)，且離心率為

6

3

，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，M、N兩點(diǎn)在橢圓C上，且 

MF

=λ

FN

（λ＞0），定點(diǎn)A（-4，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程； 
（Ⅱ）當(dāng)λ=1時(shí)，問：MN與AF是否垂直；并證明你的結(jié)論．
（Ⅲ）當(dāng)M、N兩點(diǎn)在C上運(yùn)動(dòng)，且

AM

•

AN

tan∠MAN=6

3

時(shí)，求直線MN的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（I）利用橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點(diǎn)P(

3

，1)，且離心率為

6

3

，可得

1-( b a )2

=

6

3

，

3

a2

+

1

b2

=1．解出即可．
（II）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），F(xiàn)（2，0），當(dāng)λ=1時(shí)，

MF

=

FN

，可得-y₁=y₂，x₁+x₂=4，由M，N兩點(diǎn)在橢圓上，可得

x

2 1

=6(1-

y 2 1

2

)，

x

2 2

=6(1-

y 2 2

2

)，可得x₁=x₂．即可得出．
（III）由

AM

•

AN

×tan∠MAN=2S△AMN=|AF||yM-yN|=6

3

及|AF|=6，可 得|y_M-y_N|=

3

．設(shè)直線MN的方程為：y=k（x-2），（k≠0），與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓的離心率為e=

c

a

=

6

3

，
即

1-( b a )2

=

6

3

，可得

b2

a2

=

1

3

，
又橢圓C過點(diǎn)P(

3，1

)，
∴

3

a2

+

1

b2

=1．
解得a²=6，b²=2，橢圓C的方程為

x2

6

+

y2

2

=1．①
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），F(xiàn)（2，0），
則

MF

=(2-x1，-y1)，

NF

=(x2-2，y2)，
當(dāng)λ=1時(shí)，

MF

=

FN

，∴-y₁=y₂，x₁+x₂=4，
由M，N兩點(diǎn)在橢圓上，
∴

x

2 1

=6(1-

y 2 1

2

)，

x

2 2

=6(1-

y 2 2

2

)，
∴

x

2 1

=

x

2 2

．
若x₁=-x₂，則x₁+x₂=0≠2c=4（舍去），
∴x₁=x₂．
∴

MN

=(0，2y2)，

AF

=(6，0)，
∴

MN

⊥

AF

．
（Ⅲ）∵

AM

•

AN

×tan∠MAN=2S△AMN=|AF||yM-yN|=6

3

．
由已知點(diǎn)F（2，0），∴|AF|=6，
即得|y_M-y_N|=

3

．
當(dāng)MN⊥x軸時(shí)，yM-yN≠

3

故直線的斜率存在．
不妨設(shè)直線MN的方程為：y=k（x-2），（k≠0），②
聯(lián)立①②得（1+3k²）y²+4ky-2k²=0，
∴|y_M-y_N|=

24k2+24k4

1+3k2

=

3

，解得k=±1．
此時(shí)，直線MN的方程為x-y-2=0，或x+y-2=0．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)、弦長公式、三角形的面積計(jì)算公式、數(shù)量積運(yùn)算，考查了推理能力與計(jì)算能力，考查了分類討論的思想方法，屬于難題．