Question

一個圓錐有三條母線兩兩垂直，則它的側(cè)面展開圖的圓心角為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意構(gòu)造了以三條母線為側(cè)棱的正三棱錐，再由母線長以及垂直關(guān)系、正弦定理對應(yīng)三角形外接圓的半徑公式，求出圓錐的底面半徑，進而由弧長公式求出側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)．

解答：解：設(shè)母線長為l，因圓錐有三條母線兩兩垂直，
則這三條母線可以構(gòu)成以它們?yōu)閭?cè)棱、以底面為邊長為

2

l的正三角形的正三棱錐，
故由正弦定理得，圓錐的底面直徑2R=

2 l

sin600

，解得R=

6 l

3

，
∴圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為：

2πR

l

=

2 6

3

π，
故答案為：

2 6

3

π．

點評：本題考查了正三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，正弦定理對應(yīng)三角形外接圓的半徑公式，以及弧長公式的應(yīng)用，關(guān)鍵想象出圓錐內(nèi)接幾何體的特征，考查了空間想象能力．