Question

若以（y+2）²=4（x-1）上任一點P為圓心作與y軸相切的圓，那么這些圓必定過平面內的點

1. A.
   1，-2）
2. B.
   3，-2）
3. C.
   （2，-2）
4. D.
   不存在這樣的點

Answer 1

C
分析：根據拋物線方程可求得拋物線的焦點和準線方程，利用以（y+2）²=4（x-1）上任一點P為圓心的圓與y軸相切，可知P到準線即y軸即拋物線的準線的距離為半徑，再根據拋物線的定義可知P到拋物線焦點的距離等于到準線的距離也是半徑，故可推斷這些圓必過拋物線的焦點．
解答：先求得y²=4x的焦點坐標為（1，0），準線方程為x=-1
∴拋物線（y+2）²=4（x-1）的焦點為（2，-2），拋物線準線方程為x=0即y軸
∵P為圓心作圓與y軸相切，
∴P到準線即y軸的距離為半徑，
根據拋物線的定義可知P到拋物線焦點的距離等于到準線的距離
∴P到焦點的距離也是圓的半徑
∴拋物線的焦點必在圓上，
故圓必過定點（2，-2）．
故選C
點評：本題考查的重點是圓過定點，考查拋物線的定義．解題的關鍵是判斷得出拋物線的焦點必在圓上．