【題目】如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD， ，四邊形ACFE為矩形，且CF⊥平面ABCD，AD=CD=BC=CF=1．

（1）求證：EF⊥平面BCF；
（2）點(diǎn)M在線段EF（含端點(diǎn)）上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)M在什么位置時(shí)，平面MAB與平面FCB所成銳二面角最大，并求此時(shí)二面角的余弦值．

【答案】
（1）解：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD=CD=BC=1，

又∵ ，∴AB=2，∴AC2=AB2+BC2﹣2ABBCcos60°=3．…∴AB2=AC2+BC2．∴BC⊥AC．…

∵CF⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴AC⊥CF，… 而CF∩BC=C，∴AC⊥平面BCF．…

∵EF∥AC，∴EF⊥平面BCF．…


（2）由（1）可建立分別以直線CA，CB，CF為x軸，y軸，z軸的如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，

令FM=λ（ ），則C（0，0，0），A（ ，0，0），B（0，1，0），M（λ，0，1），…

∴ =（﹣ ，1，0）， =（λ，﹣1，1），

設(shè) 為平面MAB的一個(gè)法向量，

由 得 取x=1，則 =（1， ， ），…

∵ =（1，0，0）是平面FCB的一個(gè)法向量，

∴ = ．

∵ ，∴當(dāng)λ=0時(shí)，cosθ有最小值 ，…

∴點(diǎn)M與點(diǎn)F重合時(shí)，平面MAB與平面FCB所成二面角最大，此時(shí)二面角的余弦值為 ．


【解析】1、由題意可得AB=2，∴AC2=AB2+BC2﹣2ABBCcos60°=3．∴AB2=AC2+BC2．∴BC⊥AC．根據(jù)線面垂直的判定定理可得EF⊥平面BCF2；
2、建立空間直角坐標(biāo)系由向量可得c o s θ==,∵ ，∴當(dāng)λ=0時(shí)，cosθ有最小值 ,點(diǎn)M與點(diǎn)F重合時(shí)，平面MAB與平面FCB所成二面角最大，此時(shí)二面角的余弦值為 ．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若△ABC的三內(nèi)角A、B、C對應(yīng)邊a、b、c滿足2a=b+c，則角A的取值范圍為 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】傳承傳統(tǒng)文化再掀熱潮，央視科教頻道以詩詞知識競賽為主的《中國詩詞大會》火爆熒屏．將中學(xué)組和大學(xué)組的參賽選手按成績分為優(yōu)秀、良好、一般三個(gè)等級，隨機(jī)從中抽取了100名選手進(jìn)行調(diào)查，下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的選手等級人數(shù)的條形圖．

（Ⅰ）若將一般等級和良好等級合稱為合格等級，根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否有95%的把握認(rèn)為選手成績“優(yōu)秀”與文化程度有關(guān)？

優(yōu)秀

合格

合計(jì)

大學(xué)組

中學(xué)組

合計(jì)

注：K2 ，其中n=a+b+c+d．

P（k2≥k0）

0.10

0.05

0.005

k0

2.706

3.841

7.879

（Ⅱ）若江西參賽選手共80人，用頻率估計(jì)概率，試估計(jì)其中優(yōu)秀等級的選手人數(shù)；
（Ⅲ）如果在優(yōu)秀等級的選手中取4名，在良好等級的選手中取2名，再從這6人中任選3人組成一個(gè)比賽團(tuán)隊(duì)，求所選團(tuán)隊(duì)中的有2名選手的等級為優(yōu)秀的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司推廣線下分店，計(jì)劃在S市的A區(qū)開設(shè)分店，為了確定在該區(qū)開設(shè)分店的個(gè)數(shù)，該公司對該市已開設(shè)分店的其他區(qū)的數(shù)據(jù)作了初步處理后得到下列表格．記x表示在各區(qū)開設(shè)分店的個(gè)數(shù)，y表示這x個(gè)分店的年收入之和．

x（個(gè)）

2

3

4

5

6

y（百萬元）

2.5

3

4

4.5

6


（1）該公司已經(jīng)過初步判斷，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程 ；
（2）假設(shè)該公司在A區(qū)獲得的總年利潤z（單位：百萬元）與x，y之間的關(guān)系為z=y﹣0.05x2﹣1.4，請結(jié)合（1）中的線性回歸方程，估算該公司應(yīng)在A區(qū)開設(shè)多少個(gè)分店時(shí)，才能使A區(qū)平均每個(gè)分店的年利潤最大？
（參考公式： ，其中 ）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】中國有個(gè)名句“運(yùn)籌帷幄之中，決勝千里之外”．其中的“籌”原意是指《孫子算經(jīng)》中記載的算籌，古代是用算籌來進(jìn)行計(jì)算，算籌是將幾寸長的小竹棍擺在平面上進(jìn)行運(yùn)算，算籌的擺放形式有縱橫兩種形式，如下表：

表示一個(gè)多位數(shù)時(shí)，像阿拉伯計(jì)數(shù)一樣，把各個(gè)數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列，但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，個(gè)位，百位，萬位數(shù)用縱式表示，十位，千位，十萬位用橫式表示，以此類推，例如6613用算籌表示就是： ，則算籌式 表示的數(shù)字為 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】第五屆北京農(nóng)業(yè)嘉年華于2017年3月11日至5月7日在昌平區(qū)興壽鎮(zhèn)草莓博覽園中舉辦，設(shè)置“三館兩園一帶一谷一線”八大功能板塊．現(xiàn)安排六名志愿者去其中的“三館兩園”參加志愿者服務(wù)工作，若每個(gè)“館”與“園”都至少安排一人，則不同的安排方法種數(shù)為（　�。�
A.C A
B.5C A
C.5A
D.C A

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中，△PAD為正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E為AD的中點(diǎn)，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB=2AD=4．

（Ⅰ）求證：平面PCD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱CD上是否存在點(diǎn)M，使得AM⊥平面PBE？若存在，求出 的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】共享單車是指企業(yè)在校園、地鐵站點(diǎn)、公交站點(diǎn)、居民區(qū)、商業(yè)區(qū)、公共服務(wù)區(qū)等提供自行車單車共享服務(wù)，是共享經(jīng)濟(jì)的一種新形態(tài)．一個(gè)共享單車企業(yè)在某個(gè)城市就“一天中一輛單車的平均成本（單位：元）與租用單車的數(shù)量（單位：千輛）之間的關(guān)系”進(jìn)行調(diào)查研究，在調(diào)查過程中進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得出相關(guān)數(shù)據(jù)見下表：

租用單車數(shù)量x（千輛）

2

3

4

5

8

每天一輛車平均成本y（元）

3.2

2.4

2

1.9

1.7

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，研究人員分別借助甲、乙兩種不同的回歸模型，得到兩個(gè)回歸方程，方程甲： （1）= +1.1，方程乙： （2）= +1.6．
（1）為了評價(jià)兩種模型的擬合效果，完成以下任務(wù)：
①完成下表（計(jì)算結(jié)果精確到0.1）（備注： =yi﹣ ， 稱為相應(yīng)于點(diǎn)（xi ， yi）的殘差（也叫隨機(jī)誤差）；

租用單車數(shù)量x（千輛）

2

3

4

5

8

每天一輛車平均成本y（元）

3.2

2.4

2

1.9

1.7

模型甲

估計(jì)值 （1）

2.4

2.1

1.6

殘差 （1）

0

﹣0.1

0.1

模型乙

估計(jì)值 （2）

2.3

2

1.9

殘差 （2）

0.1

0

0

②分別計(jì)算模型甲與模型乙的殘差平方和Q1及Q2 ， 并通過比較Q1 ， Q2的大小，判斷哪個(gè)模型擬合效果更好．
（2）這個(gè)公司在該城市投放共享單車后，受到廣大市民的熱烈歡迎，共享單車常常供不應(yīng)求，于是該公司研究是否增加投放．根據(jù)市場調(diào)查，這個(gè)城市投放8千輛時(shí)，該公司平均一輛單車一天能收入10元，6元收入的概率分別為0.6，0.4；投放1萬輛時(shí)，該公司平均一輛單車一天能收入10元，6元的概率分別為0.4，0.6．問該公司應(yīng)該投放8千輛還是1萬輛能獲得更多利潤？（按（1）中擬合效果較好的模型計(jì)算一天中一輛單車的平均成本，利潤=收入﹣成本）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系 中，點(diǎn) 在拋物線 上.

（1）求 的方程和 的焦點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn) 為準(zhǔn)線與 軸的交點(diǎn)，直線 過點(diǎn) ，且與直線 垂直，求證： 與 相切.

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