Question

18．設(shè)P是曲線y=$\sqrt{1{-x}^{2}}$上的點(diǎn)，若對(duì)曲線y=x+$\frac{a}{x}$（a＞0，x＞0）上的任意一點(diǎn)Q，恒有|PQ|≥1，則a的取值范圍是（　�。�

• A． [$\sqrt{2}$-1，+∞）
• B． [2$\sqrt{2}$-2，+∞）
• C． [$\frac{4}{5}$，+∞）
• D． （0，2$\sqrt{2}$-2]

Answer 1

分析 由題意，曲線y=x+$\frac{a}{x}$（a＞0，x＞0）上的任意一點(diǎn)Q，恒有|OQ|≥2，可得2x⁴+（2a-4）x²+a²≥0，換元，利用判別式，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，曲線y=x+$\frac{a}{x}$（a＞0，x＞0）上的任意一點(diǎn)Q，恒有|OQ|≥2，
∴$\sqrt{{x}^{2}+（x+\frac{a}{x}）^{2}}$≥2，
∴2x⁴+（2a-4）x²+a²≥0，
令t=x²，則2t²+（2a-4）t+a²≥0在（0，+∞）上恒成立，
∴△=（2a-4）²-8a²≤0或1-a＜0，
∵a＞0，
∴a≥2$\sqrt{2}$-2，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．