Question

8．設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足2S_n-na_n=10n（∈N^*）．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）若等差數(shù)列{a_n}的公差d＜0，且a₁，2a₂+2，5a₃成等比數(shù)列，求數(shù)列{|a_n|}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得S₁=a₁=10，可得S_n=$\frac{n}{2}$（a₁+a_n），再由等差數(shù)列的求和公式，即可得證；
（Ⅱ）運用等比數(shù)列的性質(zhì)，求得公差d=-1，進而得到a_n=11-n，求得前n項和為S_n，再對n討論，n≤11，n≥12，即可得到前n項和T_n．

解答 （Ⅰ）證明：∵2S_n-na_n=10n（n∈N^*），
∴S_n=$\frac{n（{a}_{n}+10）}{2}$，
∴S₁=a₁=$\frac{{a}_{1}+10}{2}$，解得a₁=10，
∴S_n=$\frac{n}{2}$（a₁+a_n），
∴{a_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）解：∵a₁=10和2a₂+2與5a₃成等比數(shù)列．
∴（2a₂+2）²=a₁•5a₃，
∴4（10+d+1）²=50（10+2d），化為d²-3d-4=0，
解得d=4（舍去）或-1．
∴a_n=10-（n-1）=11-n．前n項和為S_n=$\frac{1}{2}$n（21-n）；
當n≤11時，a_n≥0，前n項和T_n=$\frac{1}{2}$n（10+11-n）=$\frac{1}{2}$n（21-n）；
當n＞11時，T_n=-（S_n-S₁₁）+S₁₁=2S₁₁-S_n
=2×55-$\frac{1}{2}$n（21-n）=$\frac{1}{2}$n²-$\frac{21}{2}$n+110．
則有T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}n（21-n），n≤11}\\{\frac{1}{2}{n}^{2}-\frac{21}{2}n+110，n≥12}\end{array}\right.$．

點評 本題考查等差數(shù)列的判斷及通項和求和公式的運用，同時考查等比數(shù)列的性質(zhì)，以及數(shù)列{|a_n|}的前n項和T_n的求法，屬于中檔題和易錯題．