Question

已知定義域為R的函數(shù)f(x)滿足f(f(x)－x²＋x)＝f(x)－x²＋x．

(1)若f(2)＝3，求f(1)；

(2)又若f(0)＝a，求f(a)；

(3)設(shè)有且僅有一個實數(shù)x₀，使得f(x₀)＝x₀，求函數(shù)f(x)的解析表達(dá)式．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)因為對任意xεR，有f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，所以 　　f(f(2)－22＋2)＝f(2)－22＋2． 　　又由f(2)＝3，得f(3－22＋2)－3－22＋2，即f(1)＝1． 　　若f(0)＝a，則f(a－02＋0)＝a－02＋0，即f(a)＝a． 　　(Ⅱ)因為對任意xεR，有f(f(x))－x2＋x)＝f(x)－x2＋x． 　　又因為有且只有一個實數(shù)x0，使得f(x0)－x0． 　　所以對任意xεR，有f(x)－x2＋x＝x0． 　　在上式中令x＝x0，有f(x0)－x＋x0＝x0， 　　又因為f(x0)－x0，所以x0－x＝0，故x0＝0或x0＝1． 　　若x0＝0，則f(x)－x2＋x＝0，即 　　f(x)＝x2－x． 　　但方程x2－x＝x有兩上不同實根，與題設(shè)條件矛質(zhì)，故x2≠0． 　　若x2＝1，則有f(x)－x2＋x＝1，即f(x)＝x2－x＋1．易驗證該函數(shù)滿足題設(shè)條件． 　　綜上，所求函數(shù)為 　　f(x)＝x2－x＋1(x∈R)．