Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=

10

3

，a_n+1-

10

3

a_n+a_n-1=0（n≥2，且n∈N^*）
（1）若數(shù)列{a_n+1+λa_n}是等比數(shù)列，求實數(shù)λ；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設a_n+1+λa_n=μ（a_n+λa_n-1），n≥2，由已知條件得

λ-μ=- 10 3 λμ=-1

，由此能求出實數(shù)λ．
（2）由已知條件推導出an=

3

8

(3n-

1

3n

)，由此能求出數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

解答： 解：（1）設a_n+1+λa_n=μ（a_n+λa_n-1），n≥2，
∴a_n+1+（λ-μ）a_n-λμa_n-1=0，
∵a_n+1-

10

3

a_n+a_n-1=0，
∴

λ-μ=- 10 3 λμ=-1

，解得λ=-

1

3

或λ=-3．…．（4分）
驗證當λ=-

1

3

時，首項a2-

1

3

a1=3≠0，
λ=-3時，首項a2-

1

3

a1=

1

3

≠0，符合題意，
∴λ=-

1

3

或λ=-3．…．（6分）
（2）由（1）得an-

1

3

an-1=3n-1，an-3an-1=

1

3n-1

，
化簡得an=

3

8

(3n-

1

3n

)，…（9分）
∴S_n=

3

8

[

3(1-3n)

1-3

-

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

]
=

32n+1-4•3n+1

16•3n-1

．…．（12分）

點評：本題考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意分組求和法的合理運用．