Question

【題目】已知函數(shù)（）

(1)若是的極值，求的值，并求的單調(diào)區(qū)間。

(2)若時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1），的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.（2）

【解析】

（1）計(jì)算的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合極值，計(jì)算a，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)單調(diào)關(guān)系，計(jì)算單調(diào)區(qū)間，即可。（2）法一：計(jì)算導(dǎo)函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)，得到的單調(diào)區(qū)間，計(jì)算范圍，即可。法二 ：構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)，得到原函數(shù)單調(diào)性，計(jì)算，得到a的范圍，即可。

(1)的定義域是，，

由是的極值得，得.

時(shí)，由，得，

列表（列表的功能有兩個(gè)：一是檢驗(yàn)的正確性；二是求單調(diào)區(qū)間）得

	負(fù)	0	正
	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

綜上，，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.

(2)法一：因，.

記，

則，且，當(dāng)，

即時(shí)，，在單調(diào)遞增，

故時(shí)，，則，

則在單調(diào)遞增，，符合。

當(dāng)，即時(shí)，則存在，使得時(shí)，，

此時(shí)，，在單調(diào)遞減，時(shí)，，不符。

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

法二：時(shí)，，等價(jià)于，

記，

則，

記，

則，

故，在單調(diào)遞減，

由洛必達(dá)法則得，

故，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.