Question

9．在△ABC中，BC邊上的垂直平分線與BC，AC分別交于點(diǎn)D，M，若$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BC}$=6，且|$\overrightarrow{AB}$|=2．則|$\overrightarrow{AC}$|=（　�。�

• A． $\sqrt{10}$
• B． $\sqrt{6}$
• C． 4
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 畫出圖形，并連接AD，$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DM}$，再根據(jù)DM⊥BC即可得到$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$，而$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，再根據(jù)$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BC}=6，|\overrightarrow{AB}|=2$即可求出|$\overrightarrow{AC}$|．

解答 解：如圖，DM⊥BC，∴$\overrightarrow{DM}•\overrightarrow{BC}=0$；
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BC}=（\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DM}）•\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）•（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=$\frac{1}{2}（{\overrightarrow{AC}}^{2}-{\overrightarrow{AB}}^{2}）$；
∵$|\overrightarrow{AB}|=2，\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BC}=6$；
∴$|\overrightarrow{AC}|=4$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 考查向量加法、減法的幾何意義，兩非零向量垂直的充要條件，向量的數(shù)量積的運(yùn)算．