Question

17．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率$\frac{\sqrt{2}}{2}$，M是橢圓C上任意一點，且點M到橢圓C右焦點F距離的最小值是$\sqrt{2}$-1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知A，B是橢圓C的左右頂點，當(dāng)點M與A，B不重合時，過點F且與直線MB垂直的直線交直線AM于點P，求證：點P在定直線上．

Answer 1

分析 （1）由條件知$a-c=\sqrt{2}-1$，離心率的關(guān)系式，a，b，即可求解橢圓C的方程．
（2）設(shè)M（x₀，y₀）（y₀≠0），代入橢圓方程，寫出直線AM的方程，推出直線FP的方程，然后化簡整理推出結(jié)果即可．

解答 解：（1）由條件知$a-c=\sqrt{2}-1$，又$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{1}{{\sqrt{2}}}$…（2分）
解得$a=\sqrt{2}$，c=1，b=1，
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$…（4分）
（2）設(shè)M（x₀，y₀）（y₀≠0），則$\frac{{{x_0}^2}}{2}+{y_0}^2=1$
直線AM的方程為$y=\frac{y_0}{{{x_0}+\sqrt{2}}}（x+\sqrt{2}）$…①…（6分）
∵FP⊥MB，∴直線FP的方程為$y=-\frac{{{x_0}-\sqrt{2}}}{y_0}（x-1）$…②…（8分）
聯(lián)立①、②得$x+\sqrt{2}=-\frac{{{x_0}^2-2}}{{{y_0}^2}}（x-1）$…③…（10分）
又$\frac{{{x_0}^2}}{2}+{y_0}^2=1$，即$-\frac{{{x_0}^2-2}}{{{y_0}^2}}=2$…④
將④代入③得$x=2+\sqrt{2}$，
∴點P在定直線$x=2+\sqrt{2}$上．…（12分）

點評 本題考查橢圓的方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．