Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2}{x+1}$，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A_n（n，f（n））（n∈N^*），向量$\overrightarrow{i}$=（0，1），θ_n是向量$\overrightarrow{O{A}_{n}}$與i的夾角，則$\frac{cos{θ}_{1}}{sin{θ}_{1}}$+$\frac{cos{θ}_{2}}{sin{θ}_{2}}$+$\frac{cos{θ}_{3}}{sin{θ}_{3}}$+…+$\frac{cos{θ}_{2015}}{sin{θ}_{2015}}$的值為$\frac{2015}{1008}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，$\frac{π}{2}$-θ_n是直線OA_n的傾斜角，化簡$\frac{co{sθ}_{n}}{si{nθ}_{n}}$為$\frac{f（n）}{n}$，
從而求出$\frac{cos{θ}_{1}}{sin{θ}_{1}}$+$\frac{cos{θ}_{2}}{sin{θ}_{2}}$+$\frac{cos{θ}_{3}}{sin{θ}_{3}}$+…+$\frac{cos{θ}_{2015}}{sin{θ}_{2015}}$的值．

解答 解：根據(jù)題意得，$\frac{π}{2}$-θ_n是直線OA_n的傾斜角，
∴$\frac{co{sθ}_{n}}{si{nθ}_{n}}$=$\frac{sin（\frac{π}{2}{-θ}_{n}）}{cos（\frac{π}{2}{-θ}_{n}）}$
=tan（$\frac{π}{2}$-θ_n）
=$\frac{f（n）}{n}$
=$\frac{2}{n（n+1）}$
=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴$\frac{cos{θ}_{1}}{sin{θ}_{1}}$+$\frac{cos{θ}_{2}}{sin{θ}_{2}}$+$\frac{cos{θ}_{3}}{sin{θ}_{3}}$+…+$\frac{cos{θ}_{2015}}{sin{θ}_{2015}}$=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$）
=2（1-$\frac{1}{2016}$）
=$\frac{2015}{1008}$．
故答案為：$\frac{2015}{1008}$．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的應(yīng)用問題，也考查了直線的傾斜角與斜率的應(yīng)用問題以及求函數(shù)值的應(yīng)用問題，是綜合性題目．