Question

在教育心理學(xué)中有時(shí)可用函數(shù)f（x）=

0.1+1.5ln a a-x ，(x≥6) x-4.4 x-4 ，(x＞6)

描述學(xué)習(xí)某學(xué)科知識(shí)的掌握程度，其中x表示某學(xué)科知識(shí)的學(xué)習(xí)次數(shù)（x∈N^*），正實(shí)數(shù)a與學(xué)科知識(shí)有關(guān)．
（1）當(dāng)x≥7時(shí)，判斷f（x）的單調(diào)性，并加以證明；
（2）根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)科甲、乙、丙對(duì)應(yīng)的a的取值區(qū)間分別為（115，121]，（121，127]，（127，133]．當(dāng)學(xué)習(xí)某學(xué)科知識(shí)5次時(shí)，掌握程度是70%，請(qǐng)確定相應(yīng)的學(xué)科．（參考數(shù)據(jù)：e^0.04=1.04，e^0.4=1.49）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)最值的應(yīng)用

專(zhuān)題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用單調(diào)性的定義，即可證明結(jié)論
（2）學(xué)習(xí)某學(xué)科知識(shí)5次時(shí)，掌握程度是70%，故得方程0.1+15ln

a

a-5

=0.7，由此方程解出a的值即可確定相應(yīng)的學(xué)科．

解答： 解：（1）當(dāng)x≥7時(shí)，函數(shù)y=f（x）單調(diào)遞增．
設(shè)x₂＞x₁≥7時(shí)，則f（x₂）-f（x₁）=

0.4(x2-x1)

(x1-4)(x2-4)

＞0
∴當(dāng)x≥7時(shí)，函數(shù)y=f（x）單調(diào)遞增；
（2）由題意可知0.1+15ln

a

a-5

=0.7
整理得a=

e0.04

e0.04-1

×5=26×5=130∈（127，133]．
由此可知，該學(xué)科是丙學(xué)科．

點(diǎn)評(píng)：本題是分段函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，在實(shí)際問(wèn)題中，分段函數(shù)是一個(gè)很重要的函數(shù)模型．