Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sin2x+2cos²x-1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期：
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（I）根據(jù)二倍角的余弦公式結(jié)合輔助角公式，化簡(jiǎn)整理得f（x）=2sin(2x+

π

6

)．再根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的周期的結(jié)論，不難得到函數(shù)f（x）的最小正周期；
（II）由（I）得到的表達(dá)式，結(jié)合當(dāng)x∈[-

π

6

，

π

4

]時(shí)，-

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的公式，即可得到函數(shù)的最大值與最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

3

sin2x+2co

s

2

x-1=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)，
∴ω=2，
∴f（x）的最小正周期為T=

2π

ω

=π．
（Ⅱ）∵-

π

6

≤x≤

π

4

，
∴-

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

．
于是，當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

時(shí)，fmax(x)=2sin

π

2

=2；
當(dāng)2x+

π

6

=-

π

6

，即x=-

π

6

時(shí)，fmin(x)=2sin(-

π

6

)=-1．

點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合輔助角公式和三角函數(shù)的降冪公式，將三角函數(shù)式化簡(jiǎn)并求函數(shù)的周期與最值，著重考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用和函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．