Question

已知函數(shù)f（x）=

1

x+a

+a（a∈R），若a=1，則f（1）=

 

；若f（x）為奇函數(shù)，則a=

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的零點,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）把a=1代入函數(shù)f（x）的解析式，再求出f（1）的值；
（2）利用奇函數(shù)的性質(zhì)：f（-x）=-f（x），列出方程化簡后，利用分母不為零和恒成立求出a的值．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時，函數(shù)f（x）=

1

x+1

+1，
則f（1）=

1

2

+1=

3

2

；
（2）因為f（x）為奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x），
即

1

-x+a

+a=-（

1

x+a

+a），則-

1

-x+a

-

1

x+a

=2a，
化簡得2a（x-a）（x+a）=2a恒成立，
因為x≠±a，所以（x-a）（x+a）≠0，即a=0，
故答案為：

3

2

；0．

點評：本題考查函數(shù)的函數(shù)值，函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及恒成立問題，注意函數(shù)的定義域，考查化簡能力．