Question

4．求證：$\frac{1}{{A}_{2}^{2}}$+$\frac{2}{{A}_{3}^{3}}$+$\frac{3}{{A}_{4}^{4}}$+…+$\frac{n-1}{{A}_{n}^{n}}$=1-$\frac{1}{n!}$．

Answer 1

分析 由排列數(shù)公式化簡(jiǎn)${A}_{n+1}^{n+1}$-${A}_{n}^{n}$=n${A}_{n}^{n}$得：n=$\frac{（n+1）!-n!}{n!}$，再化簡(jiǎn)$\frac{n-1}{{A}_{n}^{n}}$，利用裂項(xiàng)相消法化簡(jiǎn)左邊的求和式子即可．

解答 證明：∵${A}_{n+1}^{n+1}$-${A}_{n}^{n}$=n${A}_{n}^{n}$，∴$n=\frac{{A}_{n+1}^{n+1}-{A}_{n}^{n}}{{A}_{n}^{n}}$=$\frac{（n+1）!-n!}{n!}$，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，n-1=$\frac{n!-（n-1）!}{（n-1）!}$，
又${A}_{n}^{n}=n!$，n≥2，∴$\frac{n-1}{{A}_{n}^{n}}$=$\frac{n-1}{n!}$=$\frac{n!-（n-1）!}{n!（n-1）!}$=$\frac{1}{（n-1）!}$-$\frac{1}{n!}$，
∴$\frac{1}{{A}_{2}^{2}}$+$\frac{2}{{A}_{3}^{3}}$+$\frac{3}{{A}_{4}^{4}}$+…+$\frac{n-1}{{A}_{n}^{n}}$=（$\frac{1}{1!}-\frac{1}{2!}$）+（$\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}$）+…+（$\frac{1}{（n-1）!}$-$\frac{1}{n!}$）
=1-$\frac{1}{n!}$，
所以原等式成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查用排列組合數(shù)，以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，由${A}_{n+1}^{n+1}$-${A}_{n}^{n}$=n${A}_{n}^{n}$化簡(jiǎn)$\frac{n-1}{{A}_{n}^{n}}$是解題的關(guān)鍵，是一道綜合題，屬于難題．