Question

8．若數(shù)列{a_n}滿足：存在正整數(shù)T，對于任意正整數(shù)n，都有a_n+T=a_n成立，則稱數(shù)列{a_n}為周期數(shù)列，周期為T．己知數(shù)列{a_n}滿足a₁=m（m＞0），a_n+1 =$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}-1，{a}_{n}＞1}\\{\frac{1}{{a}_{n}}，0＜{a}_{n}≤1}\end{array}\right.$，則下列命題正確的是①②③（寫出所有正確命題的編號）．
①若a₃=4．則m可以取3個不同的值：
②若m=$\sqrt{2}$，則數(shù)列{a_n}是周期為3的數(shù)列：
③存在m＞1，數(shù)列{a_n}是周期數(shù)列；
④對于任意的m∈Q且m≥2，數(shù)列{a_n}是周期數(shù)列．

Answer 1

分析 ①若a₃=4，利用a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}-1，{a}_{n}＞1}\\{\frac{1}{{a}_{n}}，0＜{a}_{n}≤1}\end{array}\right.$，分別對a₂，a₁討論即可得出；
②若m=$\sqrt{2}$，可得a₂，a₃，a₄，…，可得a_n+3=a_n．即可判斷出數(shù)列{a_n}是否為周期數(shù)列．
③由②可知正確．
④可用反證法證明不正確．

解答 解：①∵${a}_{n+1}=\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}-1，{a}_{n}＞1}\\{\frac{1}{{a}_{n}}，0＜{a}_{n}≤1}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}＞1}\\{{a}_{3}={a}_{2}-1}\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}{{0＜a}_{2}≤1}\\{{a}_{3}=\frac{1}{{a}_{2}}}\end{array}\right.$，
∵a₃=4，∴a₂=5或${a}_{2}=\frac{1}{4}$，
又∵$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}＞1}\\{{a}_{2}={a}_{1}-1}\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}{{0＜a}_{1}≤1}\\{{a}_{2}=\frac{1}{{a}_{1}}}\end{array}\right.$，a₁=m，
∴m=6或m=$\frac{5}{4}$或m=$\frac{1}{5}$，所以①正確；
②∵$m=\sqrt{2}$＞1，∴${a}_{2}=\sqrt{2}-1＜1$；
∴${a}_{3}=\frac{1}{{a}_{2}}=\sqrt{2}+1＞1$，∴${a}_{4}={a}_{3}-1=\sqrt{2}$，
∴數(shù)列{a_n}是周期為3的數(shù)列，∴②正確；
③由②可知當$m=\sqrt{2}$＞1時，數(shù)列{a_n}是周期為3的周期數(shù)列，∴③正確．
④假設存在m∈Q且m≥2，使得數(shù)列{a_n}是周期數(shù)列．則當m=2時，a₂=a₁-1=1，∴${a}_{3}=\frac{1}{{a}_{2}}=1$=…=a_n（n≥2），此時數(shù)列{a_n}不是周期數(shù)列．
當m＞2時，當0＜m-k≤1時，a_k+1=a₁-k=m-k．∴a_k+2=$\frac{1}{{a}_{k+1}}=\frac{1}{m-k}$＞1．若a_k+2=a_i，1≤i≤k+1，則$\frac{1}{m-k}$=m-（i-1），
化為m²-m（k+i-1）+ki-k-1=0，則△=（k+i-1）²-4（ki-k-1）不為平方數(shù)，因此假設不正確．可知④不正確．
綜上可知：只有①②③正確．
故答案為：①②③．

點評 本題考查了數(shù)列的周期性、分類討論思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．