Question

【題目】已知函數(shù)

（1）若直線與曲線都只有兩個交點，證明：這四個交點可以構(gòu)成一個平行四邊形，并計算該平行四邊形的面積；

（2）設(shè)函數(shù)在[1，2]上的值域為，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）12.(2)

【解析】試題分析：（1）先求出函數(shù)的極值，再根據(jù)直線與曲線都只有兩個交點得和的值，然后求出四個交點的坐標(biāo)，即可證明這四個交點可以構(gòu)成一個平行四邊形及計算出該平行四邊形的面積；（2）化簡，然后求導(dǎo)，求出的極值，對進(jìn)行分類討論，求出單調(diào)性及最值，表示出，根據(jù)的取值，即可求出的單調(diào)性及最小值.

試題解析：（1）證明：令得

令得；令

∴的極大值為，極小值為.

∵,令或3；

令

∴這四個交點分別為（0，0），（3，0），（-1，-4），（2，-4）

∵3-0=2-（-1）=3

∴這四個交點可以構(gòu)成一個平行四邊形，且其面積為

(2)解：因為

所以

令，得或，

①當(dāng)時，

當(dāng)時， ，所以在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時， ，所以在上單調(diào)遞增.

又因為，所以

所以

因為

所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時， 的最小值為

②當(dāng)時，

當(dāng)時， ，所以在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時， ，所以在上單調(diào)遞增.

又因為，所以

所以

因為

所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，

③當(dāng)時，

當(dāng)時， ，所以在上單調(diào)遞減；

所以

所以

因為

所以在上的最小值為

綜上， 的最小值為

點睛:本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值,對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及分類討論思想,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性時要注意先求函數(shù)的定義域,若所求的導(dǎo)數(shù)含有參數(shù),在進(jìn)行討論時要做到分類標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一,對參數(shù)的討論要不重不漏.