Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax²-bx+1（a，b∈R），
（Ⅰ）若f（1）=0且對(duì)任意實(shí)數(shù)均有f（x）≥0恒成立，求F（x）表達(dá)式；
（Ⅱ）在（1）在條件下，當(dāng)x∈[-3，3]時(shí)，g（x）=f（x）-kx是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)mn＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）為偶函數(shù)，證明F（m）＞-F（n）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由f（1）=0，可得b=a+1，由f（x）≥0恒成立，即ax²-bx+1≥0恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得△≤0，可求a，b，進(jìn)而可求
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x），g（x），=結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與對(duì)稱軸的位置關(guān)系可求k的范圍
（Ⅲ）由f（x）是偶函數(shù)，可求b，代入F（x），結(jié)合f（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性可判斷F（x）是奇函數(shù)，且F（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，結(jié)合m，n之間的大小關(guān)系即可證明
解答：解：（Ⅰ）∵f（1）=0，∴b=a+1，（1分）
由于f（x）≥0恒成立，即ax²-bx+1≥0恒成立，
當(dāng)a=0時(shí)，b=1，此時(shí)，f（x）=-x+1與f（x）≥0恒成立矛盾．
當(dāng)a≠0時(shí)，由△=（-b）²-4a=（a+1）²-4a=（a-1）²≤0，得a=1，b=2…（3分）
從而f（x）=x²-2x+1，
∴（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x²-2x+1
∴g（x）=f（x）-kx=x²-（2+k）x+1，其對(duì)稱為
由g（x）在x∈[-3，3]上是單調(diào)函數(shù)知：或，
解得k≥4或k≤-8（8分）
證明：（Ⅲ）∵f（x）是偶函數(shù)，
∴由f（-x）=f（x）得b=0，
故f（x）=ax²+1，
∵a＞0，∴f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，（9分）
對(duì)于F（x），當(dāng)x＞0時(shí)，-x＜0，F(xiàn)（-x）=-f（-x）=-f（x）=-F（x）
當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，F(xiàn)（-x）=f（-x）=f（x）=-F（x）
∴F（x）是奇函數(shù)，且F（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)．（11分）
∵mn＜0，
∴m，n異號(hào)，
（1）當(dāng)m＞0，n＜0時(shí)，由m+n＞0得m＞-n＞0，
∴F（m）＞F（-n）=-F（n）
（2）當(dāng)m＜0，n＞0時(shí)，由m+n＞0得n＞-m＞0，
∴F（n）＞F（-m）=-F（m）
即F（m）＞-F（n）
綜上可知F（m）＞-F（n）（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了二次函數(shù)的恒成立、二次函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱軸的關(guān)系等知識(shí)的綜合應(yīng)用，還考查了一定的邏輯推理與運(yùn)算的能力