已知數(shù)列{an}中，數(shù)學公式，若以a1，a2，…，an為系數(shù)的二次方程an-1x2-anx+1=0（n∈N+，n≥2）都有根α，β且3α-αβ+3β=1，則{an}的前n項和Sn=________．


分析：根據(jù)韋達定理分別求得α+β和αβ代入3α-αβ+3β=1，進而求得an=an-1+，從而可推知 為定值，由此得數(shù)列{an-}為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式進而可得an，再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式，求得Sn．
解答：由題意，∵α+β=，αβ=代入3α-αβ+3β=1得an=an-1+，
∴==為定值．
∴數(shù)列{an-}是等比數(shù)列．
∵a1-=-=，
∴an-=×（ ）n-1=（ ）n．
∴an=（ ）n+．
∴Sn=（ +++）+=+=-．
故答案為：
點評：本題以方程的根與系數(shù)為載體，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查構造法的運用，屬基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1-an=
1
3n+1
(n∈N*)，則
lim
n→∞
an=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=
an
1+2an
，則{an}的通項公式an=
1
2n-1
1
2n-1
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=
n+1
2
an+1(n∈N*)．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）求數(shù)列{
2n
an
}的前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=
1
2
，Sn為數(shù)列的前n項和，且Sn與
1
an
的一個等比中項為n(n∈N*），則
lim
n→∞
Sn=
1
1
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，2nan+1=（n+1）an，則數(shù)列{an}的通項公式為（　　）
A、
n
2n
B、
n
2n-1
C、
n
2n-1
D、
n+1
2n

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