Question

設(shè){a_n}是公差不為零的等差數(shù)列，S_n為其前n項(xiàng)和，滿足：a₂²+a₃²=a₄²+a₅²，S₇=7．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{|a_n|}的及前n項(xiàng)和T_n；
（3）試求所有的正整數(shù)m，使得

amam+1

am+2

為數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)公差為d，由已知條件利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式求出首項(xiàng)和公差，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由（1）知，當(dāng)n≤3時(shí)，a_n＜0；當(dāng)n＞3時(shí)，a_n＞0.Sn=

n(a1+an)

2

=

n(-5+2n-7)

2

=n2-6n．由此能求出數(shù)列{|a_n|}的及前n項(xiàng)和T_n．
（3）

amam+1

am+2

=

(2m-7)(2m-5)

2m-3

，令2m-3=t，則

amam+1

am+2

=

(t-4)(t-2)

t

=t+

8

t

-6．由此能求出滿足條件的正整數(shù)m=2．

解答： 解：（1）設(shè)公差為d，則

a

2 2

-

a

2 5

=

a

2 4

-

a

2 3

，
由等差數(shù)列性質(zhì)得-3d（a₄+a₃）=d（a₄+a₃）．
因?yàn)閐≠0，所以

a

4

+

a

3

=0，即2a₁+5d=0①．
又由S₇=7得7a1+

7×6

2

d=7，即a₁+3d②．
聯(lián)立①②解得a₁=-5，d=2，
所以a_n=2n-7（n∈N^*）．
（2）由（1）知，當(dāng)n≤3時(shí)，a_n＜0；
當(dāng)n＞3時(shí)，a_n＞0．
Sn=

n(a1+an)

2

=

n(-5+2n-7)

2

=n2-6n．
∴當(dāng)n≤3時(shí)，Tn=-Sn=-n2+6n；
當(dāng)n＞3時(shí)，Tn=-S3+(Sn-S3)=Sn-2S3=(n2-6n)-2×(-9)=n2-6n+18．
綜上，Tn=

-n2+6n，n≤3 n2-6n+18，n＞3

．
（3）

amam+1

am+2

=

(2m-7)(2m-5)

2m-3

，
令2m-3=t，則

amam+1

am+2

=

(t-4)(t-2)

t

=t+

8

t

-6．
故t為8的約數(shù)，又∵t是奇數(shù)，∴t的可能取值為±1．
當(dāng)t=1時(shí)，m=2，

a2a3

a4

=3=2×5-7是數(shù)列{a_n}中的第5項(xiàng)；
當(dāng)t=-1時(shí)，m=1，

a1a2

a3

=-15=2×(-4)-7不是數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)．
所以滿足條件的正整數(shù)m=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的絕對(duì)值的前n項(xiàng)和的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．