Question

E為圓內(nèi)兩弦AB和CD的交點(diǎn)，過點(diǎn)E作AD的平行線交BC的延長線于點(diǎn)F．
（1）求證：△EFC∽△BFE；
（2）若AE=

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EB，DE=6，CE=5，延長BA至點(diǎn)P，PA=AE且PD切圓于點(diǎn)D，求PD的長．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定,與圓有關(guān)的比例線段

專題：立體幾何

分析：（1）由EF∥AD，可得∠ADC=∠FEC，進(jìn)而由圓周角定理得到∠ADC=∠ABC（即∠EBF），再由∠EFC=∠BFE，由AA得到EFC∽△BFE；
（2）利用相交弦定理，結(jié)合AE=

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EB，DE=6，CE=5，PA=AE，求出PA，PB的長，進(jìn)而根據(jù)切割線定理得到答案．

解答： 證明：（1）∵EF∥AD，
∴∠ADC=∠FEC，
又∵∠ADC=∠ABC（∠EBF），
∴∠EBF=∠FEC，
又∵∠EFC=∠BFE，
∴EFC∽△BFE；
解：（2）∵AE=

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2

EB，DE=6，CE=5，
由相交弦定理：AE•BE=CE•DE可得：
2AE²=30，
∴PA=AE=

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，PB=4AE=4

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，
又∵PD切圓于點(diǎn)D，
∴PD²=PA•PB=60，
故PD=2

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點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形的判定，相交弦定理，切割線定理，是平面幾何證明的綜合應(yīng)用，難度中檔．