Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)經(jīng)過點(diǎn)P（2，1），離心率e=

3

2

，直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)  （A，B均異于點(diǎn)P），且有

PA

•

PB

=0．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求證：直線l過定點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）由題意得橢圓經(jīng)過點(diǎn)P（2，1）所以可得a與b的一個(gè)關(guān)系式，結(jié)合e=

c

a

=

3

2

，a²=b²+c²，可解出a，b，c．
（2）證明：設(shè)出A，B兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再分斜率存在與不存在兩種情況設(shè)出直線l方程．
當(dāng)斜率存在時(shí)：y=kx+m，直線l與橢圓C的方程聯(lián)立，消去y得，（1+4k²）x²+8kmx+4m²-8=0．結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系表示出

PA

•

PB

=

(6k+5m+3)(2k+m-1)

1+4k2

=0
所以（6k+5m+3）（2k+m-1）=0．可解出答案．當(dāng)斜率k不存在，易知x=

6

5

，符合題意．

解答：解：（1）由題意得橢圓經(jīng)過點(diǎn)P（2，1）
所以

4

a2

+

1

b2

=1，
又因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">e=

c

a

=

3

2

，a²=b²+c²，
∴a²=8，b²=2，c²=6．故方程為

x2

8

+

y2

2

=1．
（2）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)設(shè)直線l的方程為：y=kx+m
直線l與橢圓C的方程聯(lián)立，消去y得，（1+4k²）x²+8kmx+4m²-8=0．
則x1+x2=-

8km

1+4k2

，x1x2=

4m2-8

1+4k2

．

PA

•

PB

=(x1-2，y1-1)•(x2-2，y2-1)=（x₁-2）（x₂-2）+（y₁-1）（y₂-1）=（x₁-2）（x₂-2）+（kx₁+m-1）（kx₂+m-1）
=（1+k²）x₁x₂+(km-k-2)(x1+x2)+4+(m-1)2=(1+k2)•

4m2-8

1+4k2

+(km-k-2)•(-

4m2-8

1+4k2

)+4+(m-1)2
=

12k2+16km+5m2-2m-3

1+4k2

=

12k2+16km+(5m+3)(m-1)

1+4k2

=

(6k+5m+3)(2k+m-1)

1+4k2

=0
∴（6k+5m+3）（2k+m-1）=0．
若6k+5m+3=0，則l：y=kx-

6k+3

5

=k(x-

6

5

)-

3

5

，∴直線l過定點(diǎn)(

6

5

，-

3

5

)．
若2k+m-1=0，則l：y=kx-2k+1=k（x-2）+1，∴直線l過定點(diǎn)（2，1），即為P點(diǎn)（舍去）．
當(dāng)斜率k不存在，易知x=

6

5

，符合題意．
綜上，直線l過定點(diǎn)(

6

5

，-

3

5

)

點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確的運(yùn)算，抓住向量的數(shù)量積等于0結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系準(zhǔn)確的化簡(jiǎn)得出結(jié)果，本題出錯(cuò)的關(guān)鍵是不能準(zhǔn)確的進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，正確的代數(shù)運(yùn)算也是高考成功的條件之一．