Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱長(zhǎng)均為a，D、E分別為C₁C與AB的中點(diǎn)，A₁B交AB₁于點(diǎn)G．
（1）求證：A₁B⊥AD；
（2）求證：CE∥平面AB₁D．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連接A₁D，BD，由A₁ABB₁為正方形，得A₁B⊥AB₁，A₁D=BD，從而A₁B⊥DG，進(jìn)而A₁B⊥平面AB₁D，由此能證明A₁B⊥AD．
（2）連接GE，GD，則GE⊥平面ABC，GE∥DC，四邊形GECD為平行四邊形，由此能證明EC∥平面AB₁D．

解答： 證明：（1）連接A₁D，BD，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是棱長(zhǎng)均為a的正三棱柱，
∴A₁ABB₁為正方形，∴A₁B⊥AB₁，
∵D是C₁C的中點(diǎn)，∴△A₁C₁D≌△BCD，∴A₁D=BD，
∵G是A₁B中點(diǎn)，∴A₁B⊥DG，
又∵DG∩AB₁=G，∴A₁B⊥平面AB₁D，
又∵AD?平面AB₁D，∴A₁B⊥AD．
（2）連接GE，GD，∵EG∥A₁A，∴GE⊥平面ABC，
∵DC⊥平面ABC，∴GE∥DC，
∵GE=DC=

1

2

a，
∴四邊形GECD為平行四邊形，
∴EC∥GD，
又∵EC?平面AB₁D，DG?平面AB₁D，
∴EC∥平面AB₁D．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要線線垂直、線面平行、探索性問題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想．